Παρασκευή, 1 Σεπτεμβρίου 2017

Οι Άντρες

Ένας βασιλιάς διέταξε έναν αυλικό του να μαζέψει άντρες για το στρατό από 30 χωριά,
ως εξής:
-«Από κάθε χωριό που θα φεύγεις θα παίρνεις τόσους άντρες , όσοι ήταν αυτοί που πήγαν. ∆ηλαδή, στο πρώτο χωριό που θα φτάσεις μόνο σου, φεύγοντας θα πάρεις μαζί σου άλλον ένα. Στο δεύτερο χωριό θα φτάσετε δύο άτομα, άρα φεύγοντας από το χωριό θα πάρεις  μαζί σου άλλους δύο, σύνολο 4 κ. ο. κ. ε.»
Πόσους άντρες συνολικά θα συγκεντρώσει  ο αυλικός από τα 30 χωριά που θα επισκεφθεί;
Σημείωση:
Από το έργο «Propositiones ad Acuendos Juvenes» - “Προβλήματα για να τροχίζουν το μυαλό των νέων”, του Albinus Flaccus Alcuin (735-804), πρόβλημα Νο.13.

Λύση

Ο αυλικός από τα 30 χωριά θα συγκεντρώσει 1.073.741.823 άντρες. Βάσει του τύπου του αθροίσματος της γεωμετρικής προόδου Σn=[α*(ω^n-1)]/(ω-1) βρίσκουμε το σύνολο των 30 όρων της γεωμετρικής προόδου:
Σn=[α*(ω^n-1)]/(ω-1)=[1*(2^(30)-1]/2-1=[1*(2^(30)-1)]/1=[(1*1.073.741.824) -1]=
1.073.741.824-1=1.073.741.823
Στο 1ο χωρίο πήγε μόνος του και έφυγαν 2 άτομα =2^1.
Στο 2ο χωριό πήγαν 2 άτομα και έφυγαν 4 άτομα = 2^2.
Στο 3ο χωριό πήγαν 4 άτομα και έφυγαν 8 άτομα = 2^3.
......................
......................
......................
Στο 30ο χωριό πήγαν 536.870.912 = 2^29 άτομα και έφυγαν 1.073.741.824 άτομα = 2^30.
Από το 30ο χωριό θα φύγουν 1.073.741.824 άτομα. Ο αυλικός θα πάει στον βασιλιά του
(2^n-1)=[(2^30)-1] = (1.073.741.824 -1) = 1.073.741.823 άντρες.

3 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Σ=2*(2^30-1)/(2-1)=2.147.483.646
μειον ενας ο αυλικος ισον: 2.147.483.645

Ανώνυμος είπε...

Ο αριθμος των αντρων που θα φυγουν απο το 30ό χωριο ισουται με τον 30ό όρο της γεωμετρικης ακολουθιας με πρωτο ορο α=2 ακι λογο λ=2, δηλ.
α*λ^(30-1)=2*2^29=2^30=1.073.741.824
αρα ο αριθμος των στρατευσιμων, αφαιρουμενου του αυλικου, θα ειναι:
1.073.741.823
V.

Papaveri είπε...

Συγχαρητήρια και στούς δύο. Η απάντηση που δώσατε είναι σωστή.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes