Πέμπτη, 31 Αυγούστου 2017

Ο Αριθμός

Ένας αριθμός διαιρούμενος με το 3 αφήνει υπόλοιπο 2, διαιρούμενος με το 5 αφήνει υπόλοιπο 3, και διαιρούμενος με το 7 αφήνει υπόλοιπο 2. Ποιος είναι ο αριθμός;
Σημείωση:
Από το τρίτομο βιβλίο με τίτλο «Κλασσική Αριθμητική του Sun – Tsu ή Suan – Tse.

Λύση

Είναι ο αριθμός 23. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 3, 5, και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π.( 3,5,7)=3*5*7=105
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξής εξiσώσεις:
x=3y+2 (1)
x=5z+3 (2)
x=7u+2 (3)
όπου y, z, και u, φυσικοί ακέραιοι αριθμοί.
Ο κανόνας που εφάρμοζαν οι Κινέζοι σ’ αυτή τη περίπτωση, τον οποίο ονόμαζαν Ta-yen,δε διαφέρει κατ’ ουσία από εκείνον ο οποίος εδόθη κατόπιν από τον Gauss (§§ Disq. Aritm. 32-36). Κατ’ εφαρμογή αυτού του κανόνος, προσδιορίζονται (δοκιμαστικώς;) τρεις αριθμοί, «k», «l», και «m», τέτοιοι ώστε να έχουμε:
5*7*k ≡1(mod.3) (4)
7*3*l ≡1(mod.5) (5)
3*5*m ≡1(mod.7) (6)
Αποδεκτές τιμές για τις μεταβλητές «k», «l», και «m» είναι:
«k=2», «l=1», και «m=1»
Αντικαθιστούμε τις τιμές των μεταβλητών στις (4), (5), και (6) κι’ έχουμε:
5*7*2=70 (7)
7*3*1=21 (8)
3*5*1=15 (9)
Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα των ανωτέρω γινομένων με τα υπόλοιπα των διαιρέσεων 2, 3, και 2 κι’ έχουμε:
5*7*2=70*2=140 (10)
7*3*1=21*3=63 (11)
3*5*1=15*2=30 (12)
Προσθέτουμε τα αποτελέσματα των ανωτέρω γινομένων κι’ έχουμε:
140+63+30=233
Από το ανωτέρω άθροισμα αφαιρούμε το Ε.Κ.Π. των διαιρετών 3, 5, και 7, όσες φορές είναι δυνατόν φθάνοντας στο ζητούμενο αριθμό 23, ή πιο σωστά, στο ελάχιστο από αυτά, κι’ έχουμε: 233-105=128-105=23

2 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Εστω α ο ζητουμενος αριθμος, τοτε:
α=3*κ+2=5*λ+3=7*μ+2 => α-2=3*κ=7*μ=5*λ+1
Ο αριθμος (α-2) ειναι κοινο πολλαπλασιο των 3 και 7.
Εστω: α-2=3*7=21 => α=21+2=23=3*7+2=5*4+3=7*3+2
Ο αριθμος α=23 ικανοποιει τις συνθηκες του προβληματος.
Σχηματιζω τωρα την ακολουθια: Α=3*5*7*ν+23=105*ν+23, οπου: ν=0,1,2,3,4,....
Τοτε:
Α=3*5*7*ν+3*7+2=3*(7*5*ν+7)+2
Α=3*5*7*ν+5*4+3=5*(3*7*ν+4)+3
Α=3*5*7*ν+3*7+2=7*(3*5*ν+3)+2
Αρα οι οροι της ακολουθιας: Α=105*ν+23, ν=0,1,2,3,4,.... ικανοποιουν τις συνθηκες του προβληματος.
Ενδεικτικα δινω τους 11 πρωτους ορους της ακολουθιας για ν=0,1,2,...,10.

ν Α
0 23
1 128
2 233
3 338
4 443
5 548
6 653
7 758
8 863
9 968
10 1073
V.

Papaveri είπε...

@Voulagx
Σωστή η απάντησή σου.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes