Σάββατο, 5 Αυγούστου 2017

Το Αγρόκτημα

Σ’ ένα αγρόκτημα ένας  αγρότης εκτρέφει άλογα, πρόβατα και κότες. Κάθε
είδος ζώου είναι ένας διαφορετικός πρώτος αριθμός. Ο αγρότης σκέφτηκε
ως εξής:
-«Εάν πολλαπλασιάσω το πλήθος των προβάτων μου με το άθροισμα των αριθμών
των προβάτων και των αλόγων μου, τότε θα βρω έναν αριθμό μεγαλύτερο κατά
120 από τις κότες μου.»
Πόσα ήταν τα ζώα που είχε ο αγρότης και πόσα είχε aπό  το καθ' ένα; (Κατ.34/Νο.686)
Πηγή: Από το βιβλίο "Ο Οιδίποδας και η Σφίγγα", του Α. Πούλου

Λύση

Συνολικά είχε 36 ζώα, 2 άλογα, 11 πρόβατα, και 23 κότες. Έστω «Α» τα άλογα «Π» τα πρόβατα και «Κ» οι κότες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Π*(Π+Α)=Κ+120 (1)
Εάν «Α», «Π», και «Κ» πρώτοι αριθμοί εκτός του 2, τότε Π*(Π+Α)= άρτιος αριθμός και Κ+120 περιττός αριθμός, άτοπον, άρα:
α) Κ+120 άρτιος, άρα Κ=2 ---> Π*(Π+Α)=122=2*61 (1*122 δεν γίνεται δεκτό αφού το 1 δεν θεωρείται πρώτος αριθμός), άρα Π=2 και Α=59 άρα Α=59, Π=2, Κ=2
β) Κ+120= περιττός αριθμός ---> Π*(Π+Α)= περιττός αριθμός ---> Π= περιττός και Α=2 και η εξίσωση γίνεται: Π*(Π+2)=Κ+120 ---> Π^2+2Π-120=Κ ή (Π+12)*(Π-10)=Κ(=πρώτος αριθμός) ---> (Π-10) = 1 ---> Π =11 και Κ=11+12=23 Άρα Α=2, Π=11, Κ=23
Επαλήθευση:
Π*(Π+Α)=Κ+120 ---> 11*(11+2)=23+120 ---> 11*13=143

4 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Προβατα = 11
Αλογα = 2
Κοτες = 23

Π*(Π+Α)=Κ+120 => Π^2+Π*Α-(Κ+120)=0
Π=(-Α+(Α^2+4Κ+480)^(1/2))/2 (1)

οπου Π(ροβατα),Α(λογα),Κ(οτες) ειναι πρωτοι αριθμοι.
Οι μονοι πρωτοι μικροτεροι του 100 που ικανοποιουν την (1) ειναι οι: (11,2,23)
Επαληθευση:
11*(11+2)=11+13=143=23+120.

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Σωστή η απάντηση. Σήμερα ετοιμαζόμουν να δώσω τη λύση και ν' αναρτήσω άλλο πρόβλημα, διότι απελπίστικα βλέποντας να μη το λύνει κανένας.

Ανώνυμος είπε...

Συμφωνα με τα δεδομενα του προβληματος:
Π*(Π+Α)=Κ+120 (1)
οπου Π,Α,Κ πρωτοι διαφοροι μεταξυ τους.
Εστω οτι οι Π,Α,Κ ειναι διαφοροι του 2, αρα περιττοι. Τοτε ο (Κ+120) ειναι περιττος και ο (Π+Α), ως αθροισμα περιττων, ειναι αρτιος αρα : Π*(Π+Α)=αρτιος, ως γινομενο περιττου επι αρτιου, οπερ ατοπον, δεν μπορει ο περιττος (Κ+120) να ισουται με τον αρτιο Π*(Π+Α). Αρα ενας εκ των Π,Α,Κ ειναι πρωτος αρτιος, δηλ. ισος με 2.
1) Αν: Κ=2 και οι Π,Α ειναι πρωτοι περιττοι τοτε απο την (1) εχουμε:
Π*(Π+Α)=2+120=122=2*61 => {Π=2 και Π+Α=61} => {Π=2 και Α=59}
Η λυση (Π,Α,Κ)=(2,59,2) απορριπτεται διοτι αντικειται στα δεδομενα του προβληματος (Π=Κ=2), οι Π,Α,Κ πρεπει να ειναι διαφοροι μεταξυ τους. Συνεπως : Κ#2.
2)Αν: Π=2 και οι Κ,Α ειναι πρωτοι περιττοι, τοτε απο την (1) εχουμε:
2*(2+Α)=Κ+120 => 4+2*Α=Κ+120 =>2*Α-116=Κ => 2*(Α-58)=Κ δηλ. Ο Κ ειναι αρτιος, ατοπον αφου ο Κ ειναι περιττος. Συνεπως: Π#2.
Αφου: Κ#2 και: Π#2 πρεπει: Α=2 οποτε η (1) γινεται:
Π*(Π+2)=Κ+120 =>
Π^2+2*Π-(Κ+120)=0 =>
Π=(1+Κ+120)^(1/2)-1 =>
Π=(Κ+121)^(1/2)-1 (2)
Πρεπει: (Κ+121)^(1/2)=λ, λεΝ οποτε:
Κ+121=Κ+11^2= λ^2 =>
Κ=λ^2-11^2=(λ-11)*(λ+11)
και αφου ο Κ ειναι πρωτος θα ειναι:
λ-11=1 και λ+11=Κ
απ΄οπου προκυπτει: λ=12 και Κ=23 οποτε απο την (2) εχουμε:
Π=(23+121)^(1/2)-1=114^(1/2)-1=12-1=11
Ωστε ο αγροτης εκτρεφει 11 προβατα, 2 αλογα και 23 κοτες.
Voulagx
Γεια σου Καρλο! :)

Papaveri είπε...

@Voulagx
Σωστή η απάντηση σου. Που χάθηκες;

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes