Το Στεφάνι

Ο Νικόμαχος πάει σ’ ένα χρυσοχόο και του λέει: 
«Φτιάξε µου ένα στεφάνι, να ζυγίζει εξήντα μνες, το οποίο θα προσφέρω στο Ναό του θεού Απόλλωνα. Ανάμειξε χρυσάφι και χαλκό, και μαζί τους κασσίτερο και σίδερο δουλεμένο. Χρυσάφι και χαλκός μαζί να είναι τα δύο τρίτα. Χρυσάφι και κασσίτερος μαζί να είναι τα τρία τέταρτα. Χρυσάφι και σίδερο τα τρία πέμπτα.»

Πόσο χρυσάφι, πόσο χαλκό, πόσο κασσίτερο, και πόσο σίδερο πρέπει ν' αναμείξει ο χρυσοχόος, ώστε να φτιάξει ένα στεφάνι που να ζυγίζει εξήντα μνες; (Κατ.34/Νο.603)

Πηγή:Παλατινή Ανθολογία

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/04/blog-post_3.html

Επεξήγηση:

Οι μνες να μετατραπούν σε χιλιόγραμμα.

60 μνες=26,196χιλιόγραμμα.

Λύση

Έστω «α» το χρυσάφι, «β» ο χαλκός, «γ» ο κασσίτερο και «δ» ο σίδηρος. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: α+β+γ+δ=60 (1) α+β=(2/3)*60 (2) α+γ=(3/4)*60 (3) α+δ=(3/5)*60 (4) Από τη (2) συνάγουμε ότι: α+β=(2/3)*60 ---> α+β=2*20 --> α+β=40 (5) Από τη (3) συνάγουμε ότι: α+γ=(3/4)*60 ---> α+γ=3*15 --> α+γ=45 (6) Από τη (4) συνάγουμε ότι: α+δ=(3/5)*60 ---> α+δ=3*12 ---> α+δ=36 (7) Προσθέτουμε κατά μέλη τις (5), (6), και (7) κι’ έχουμε: α+β=40 α+γ=45 α+δ=36 3α+β+γ+δ=121 ---> 2α+(α+β+γ+δ)=121 (8) Εξ’ ορισμού όμως το άθροισμα (α+β+γ+δ) ισούται με 60, οπότε έχουμε: 2α+(α+β+γ+δ)=121 ---> 2α+60=121 ---> 2α=121-60 ---> 2α=61 ---> α=61/2 ---> α=30,50 (9) Αντικαθιστούμε την (9) στις (5), (6), και (7) κι’ έχουμε: α+β=40 ---> 30,50+β=40 ---> β=40-30,50 ---> β=9,50 (10) α+γ=45 ---> 30,50+γ=45 ---> γ=45-30,50 ---> γ=14,50 (11) α+δ=36 ---> 30,50+δ=36 ---> δ=36-30,50 ---> δ=5,50 (12) Επαλήθευση: α+β+γ+δ=60 ---> 30,50+9,50+14,50+5,50=60μνες α+β+γ+δ=60 ---> 13,316+4,148+6,331+2,401=26,196χλμ Μετατροπή των μνων σε χιλιόγραμμα: α)Κατάταξη: Οι 60 μνες ισούνται με 26,196χλμ. Οι 30.50 μνες ισούνται με πόσα x; x=(30,50*26,196)/60 ---> x=798,978/60 ---> x=13,316χλμ β)Κατάταξη: Οι 60 μνες ισούνται με 26,196χλμ. Οι 9.50 μνες ισούνται με πόσα x; x=(9,50*26,196)/60 ---> x=248,862/60 ---> x=4,148χλμ γ)Κατάταξη: Οι 60 μνες ισούνται με 26,196χλμ. Οι 14.50 μνες ισούνται με πόσα x; x=(14,50*26,196)/60 ---> x=379,842/60 ---> x=6,331χλμ δ)Κατάταξη: Οι 60 μνες ισούνται με 26,196χλμ. Οι 5.50 μνες ισούνται με πόσα x; x=(5,50*26,196)/60 ---> x=144,078/60 ---> x=2,401χλμ