Τα Κέρματα

Κάποιος δαπάνησε το 1/3 των κερμάτων του για αγορές, κατέθεσε τα 2/3 του υπολοίπου των κερμάτων στην τράπεζα, και του έμειναν υπόλοιπο 12 κέρματα. Πόσα κέρματα είχε στην αρχή;

Διευκρίνιση:

Όλα τα κέρματα ήταν αξίας 1€

Από το βιβλίο του Γάλλου μαθηματικού Nicholas Chuquet (1448-1500) με 
τίτλο:«Triparty en la Science des Nombres – Τριμερή στην Επιστήμη 
των Αριθμών»

Λύση

Στην αρχή είχε 54 κέρματα του 1€. Έστω «x» τα κέρματα που είχε στην αρχή. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
x-x/3 (1)
Του έμειναν υπόλοιπο:
x-x/3 ----> (3x-x)/3 ----> 2x/3 κέρματα (2)
Από αυτά, κατέθεσε στη τράπεζα τα 2/3 και του έμειναν 12 κέρματα, οπότε έχουμε την εξίσωση:
2x/3-(2/3)*(2χ/3)=12 (3)
2x/3-(2/3)*(2χ/3)=12 ----> 2x/3-(4x/9)=12 ----> 3*2x-4x=12*9 ----> 6x-4x=108 ----> 2x=108 ----> x=108/2 ----> x=54 κέρματα (4)
Επαλήθευση:
χ/3=54/3=18 κέρματα, που αντιπροσωπεύουν το 1/3 των αρχικών κερμάτων.
2x/3=(2*54)/3=2*18=36 κέρματα που αντιπροσωπεύουν το 2/3 των αρχικών κερμάτων.
2x/3-(2/3)*(2χ/3)=12 ----> 2*54/3-(2/3)*(2*54)/3=12 ----> 2*18-(2/3)*(2*18)=12 -----> 36-(2*2*18)/3=12 ----> 36-(4*6)=12 -----> 36-24=12

Οι Λίρες

Δύο Άραβες που ταξίδευαν στην έρημο είχαν μαζί τους : ο ένας 3 πίτες και ο άλλος 5 πίτες. Στο δρόμο συνάντησαν έναν πλούσιο αλλά πεινασμένο ταξιδιώτη. Μοίρασαν λοιπόν τις 8 πίτες σε τρία ίσα μέρη και τις έφαγαν. Ο πλούσιος φεύγοντας, άφησε 8 λίρες για να πληρώσει τη μερίδα του. Να βρείτε πόσες από τις λίρες πρέπει να πάρει καθένας από τους δύο Άραβες.
Πηγή:perisan's blog » Blog Archive » Τρεις Άραβες μοιράζονται 8 πίτες

Λύση

Η κάθε πίτα χωρίζεται σε τρία ίσα μέρη. Έτσι, τα 24 κομμάτια που προκύπτουν μοιράζονται σε τρία ίσα μέρη και τρώει 8 κομμάτια ο καθένας. Ο πρώτος Άραβας είχε 3 πίτες άρα 9 κομμάτια, από τα οποία έδωσε στον ταξιδιώτη 1 κομμάτι αξία μιας λίρας, ενώ τα υπόλοιπα 8 κομμάτια τα έφαγε αυτός. Ο δεύτερος Άραβας είχε 5 πίτες, άρα 15 κομμάτια, από τα οποία έδωσε στον ταξιδιώτη 7 κομμάτια αξίας 7λιρών (7*1), ενώ τα υπόλοιπα 8 κομμάτια τα έφαγε αυτός. Έτσι ο πρώτος Άραβας δικαιούται να πάρει 1 λίρα, ενώ ο δεύτερος 7 λίρες, από τις 8 λίρες που τους έδωσε ο πλούσιος ταξιδιώτης.

Οι Απουσίες

Ο Ανδρέας τελειώνει μια εργασία σε 15 ημέρες. Ο Βασίλης την ίδια εργασία την τελειώνει σε 20 ημέρες. Συμφώνησαν να εργαστούν μαζί για να τελειώσουν αυτή την εργασία. Εάν ο Βασίλης απουσίασε μια ημέρα παραπάνω  από τον Ανδρέα και η εργασία τελείωσε σε 11 ημέρες, να βρείτε πόσες ημέρες απουσίασε ο Ανδρέας και πόσες ημέρες απουσίασε ο Βασίλης.

Λύση

Ο Ανδρέας απουσίασε 2 ημέρες και ο Βασίλης απουσίασε 3 ημέρες Ο Ανδρέας σε μία ημέρα τελειώνει το 1/15 του έργου και ο Βασίλης το 1/20 του έργου, και οι δύο μαζί τελειώνουν τα:
(1/15)+(1/20)=(4/60)+(3/60)=7/60 του έργου
Εάν εργάζονταν και τις 11 ημέρες θα τελείωναν τα:
11*(7/60)=77/60 του έργου
Τις ημέρες που δεν εργάστηκαν μαζί θα τελείωναν τα:
(11-1+7)/60=(10+7)/60=17/60 του έργου
Εάν ο Ανδρέας απουσίασε x ημέρες, τότε ο Βασίλης απουσίασε (x+1) ημέρες. Βάσει των ανωτέρω δεδομένων έχουμε την εξίσωση:
(x/15)+(x+1)/20=17/60 ----> [4x+3*(x+1)]/60=17/60 ---->
4x+3x+3=17 ----> 7x+3=17 ----> 7x=17-3 ----> 7x=14 ----> x=14/7 ----->
x=2
Επαλήθευση:
[4x+3*(x+1)]/60=17/60 ----> [4*2+3*(2+1)]/60=17/60 ----> (4*2+3*3)/60=(8+9)/60=17/60

Το Εμβαδόν

Το ανωτέρω σχήμα αποτελείται από τρία τετράγωνα. Το πιο μικρό έχει περίμετρο 20 εκ. και το μεγάλο έχει περίμετρο 60 εκ. Πόσο είναι το εμβαδόν ​όλου ​του ​σχήματος ​που ​βλέπετε;
Πηγή:Τα θέματα και οι απαντήσεις του 1ου Μαθηματικού Διαγωνισμού «ΚΩΣΤΑΣ ΖΕΡΒΟΣ» 2017 (Α΄ Γυμνασίου)

Λύση

Το εμβαδον του σχήματος είναι 350εκ.^2. Η πλευρά του τετραγώνου «Α» είναι 5εκ., του τετραγώνου «Β» είναι 10εκ. και του τετραγώνου «Γ» είναι 15εκ. Η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι τετραπλάσια της πλευράς του (Π=4α). Επομένως, η πλευρά του τετραγώνου Α είναι 5 εκ.(Π=4*5), του Β είναι. 15-5 εκ. = 10εκ. (Π=4*10) και του Γ είναι 15εκ.(Π=4*15).
Υπολογίζουμε τα 3 εμβαδά (Ε=α2):
Α: 25 τετρ. εκ.(Ε=5^2)
Β: 100 τετρ. εκ. (Ε=10^2)
Γ: 225 τετρ. εκ. (Ε=15^2)
ΣΥΝΟΛΟ: Ε=225 + 100 + 25 = 350 τετρ. εκ.

Τα Διαμάτια

Μια νύχτα μπήκε ένας κλέφτης σ' ένα κοσμηματοπωλείο. Ο κλέφτης βρήκε στο χρηματοκιβώτιο ένα σωρό από διαμάντια. Η πρώτη του σκέψη ήταν να τα πάρει όλα και να φύγει. Η συνείδησή του όμως τον εμπόδισε. Έτσι , πήρε τα μισά διαμάντια και έκανε να φύγει. Το μετάνιωσε όμως και λίγο πριν φύγει, πήρε ακόμη ένα διαμάντι.

Ύστερα από λίγα λεπτά, ένας δεύτερος κλέφτης μπήκε στο ίδιο κοσμηματοπωλείο. Πήρε τα μισά από τα εναπομείναντα διαμάντια συν ένα διαμάντι.

Μετά, ένας τρίτος κλέφτης μπήκε στο ίδιο κοσμηματοπωλείο πήρε τα μισά από τα υπόλοιπα διαμάντια  συν ένα διαμάντι.

Το ίδιο και ο τέταρτος κατά σειρά κλέφτης, μπήκε στο ίδιο κοσμηματοπωλείο πήρε τα μισά από τα εναπομείναντα διαμάντια συν ένα διαμάντι.

Τέλος, μπήκε κι ένας πέμπτος κλέφτης, αλλά δεν βρήκε κανένα διαμάντι για να κλέψει.

Πόσα διαμάντια είχε αρχικά ο σωρός μέσα στο χρηματοκιβώτιο;

Λύση

Υπήρχαν 30 διαμάντια μέσα στο χρηματοκιβώτιο. Κάθε κλέφτης από τον 2ο και μετά, έβρισκε όσα διαμάντια άφηνε ο προηγούμενος. Αν ο 4ος κλέφτης βρήκε x διαμάντια, τότε πήρε (x/2)+1 διαμάντια και άφησε για τον επόμενο (x/2)-1 διαμάντια. Έτσι, (x/2)-1=0 (αφού o 5oς κλέφτης δε βρήκε διαμάντια). Οπότε, ο 4ος κλέφτης βρήκε 2 διαμάντια. Αν ο 3ος κλέφτης βρήκε y διαμάντια, τότε πήρε (y/2)+1 και άφησε για τον επόμενο (y/2)-1. Έτσι, (y/2)-1=2 (αφού 2 διαμάντια βρήκε ο 4ος). Αν λύσουμε την εξίσωση, βρίσκουμε y=6. Οπότε, ο 3ος κλέφτης βρήκε 6 διαμάντια. Αν ο 2ος κλέφτης βρήκε ω διαμάντια, τότε: (ω/2)-1=6 (αφού ο 3ος βρήκε 6 διαμάντια) Αν λύσουμε την εξίσωση, ω=14. Αν z διαμάντια βρήκε ο 1ος κλέφτης, τότε: (z/2)-1=14 και λύνοντας την εξίσωση, z=30 διαμάντια είχε αρχικά ο σωρός. 

Διαβάστε περισσότερα »

Η Χρυσή Αλυσίδα

Ένας ενεχυροδανειστής σου δίνει ένα δάνειο το οποίο πρέπει να ξεπληρώσεις μετά από 7 ημέρες. Το μόνο που μπορείς να του αφήσεις για ενέχυρο είναι μία χρυσή αλυσίδα. Μιας και η αλυσίδα έχει 7 κρίκους πιασμένους ο ένας με τον άλλο σε σειρά και επειδή δεν του έχεις και πολύ εμπιστοσύνη, συμφωνείτε να του δίνει έναν κρίκο της αλυσίδας κάθε μέρα. Την τελευταία μέρα θα σου επιστρέψει και τους 7 κρίκους και θα του ξεπληρώσεις το δάνειο σε μετρητά. Επειδή όμως η αλυσίδα έχει για σένα συναισθηματική αξία, θέλεις να κόψεις όσο το δυνατόν λιγότερους κρίκους γίνεται, τους οποίους θα πρέπει να δόσεις να σου ξαναενώσουν όταν την πάρεις πίσω. Πόσους και ποιους κρίκους θα κόψεις για να μπορείς να του δίνεις έναν κάθε μέρα;

Λύση

(Α)Θα πρέπει να κόψεις μόνο τον κρίκο Νο 3. Έτσι χωρίζεται η αλυσίδα σε τρία κομμάτια: Το πρώτο αποτελείται από τους κρίκους Νο 1 και 2. Το δεύτερο αποτελείται από το Νο 3. Και το τρίτο αποτελείται από τους Νο 4, 5, 6 και 7.
Την πρώτη μέρα του δίνεις τον κρίκο Νο3. Τη δεύτερη μέρα του δίνεις τους κρίκους Νο 1 και 2 και παίρνεις πίσω τον κρίκο Νο 3. Την τρίτη μέρα του δίνεις τον κρίκο Νο 3. Την τέταρτη μέρα παίρνεις πίσω τους τρεις κρίκους (Νο 1, 2, και 3) και του δίνεις τους κρίκους Νο. 4, 5, 6 και 7. Την πέμπτη μέρα του δίνεις τον κρίκο Νο 3. Την έκτη μέρα παίρνεις πίσω τον κρίκο Νο 3 και του δίνεις τους κρίκους Νο 1 και 2. Τέλος την έβδομη μέρα του δίνεις τον κρίκο Νο 3.
Ή
(Β) Θα πρέπει να κόψεις μόνο τον κρίκο Νο 5. Έτσι χωρίζεται η αλυσίδα σε τρία κομμάτια: Το πρώτο αποτελείται από τους κρίκους Νο.1, 2, 3, και 4. Το δεύτερο αποτελείται από το Νο 5. Και το τρίτο αποτελείται από τους Νο 6, και 7.
Την πρώτη μέρα του δίνεις τον κρίκο Νο 5. Τη δεύτερη μέρα του δίνεις τους κρίκους Νο 6 και 7 και παίρνεις πίσω τον κρίκο Νο 5. Την τρίτη μέρα του δίνεις τον κρίκο Νο 5. Την τέταρτη μέρα παίρνεις πίσω τους τρεις κρίκους (Νο 5, 6, και 7) και του δίνεις τους κρίκους Νο 1, 2, 3, και 4. Την πέμπτη μέρα του δίνεις τον κρόκο Νο 5. Την έκτη μέρα παίρνεις πίσω τον κρίκο Νο 5 και του δίνεις τους κρίκους Νο 6 και 7. Τέλος την έβδομη μέρα του δίνεις τον κρίκο Νο 5.

Το Αποτέλεσμα

Ποιο είναι το αποτέλεσμα στην ανωτέρω παράσταση;
Πηγή:http://dimitris-ver.blogspot.com/2015/10/blog-post.html

Διαβάστε περισσότερα »