Τα Καθίσματα

Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε σειρά έχει «α» καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη σειρά. Η 7^η σειρά έχει 36 καθίσματα και το πλήθος των καθισμάτων του σταδίου είναι 300.

(α) Αποτελούν τα καθίσματα του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Να
αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας.

(β)Πόσα καθίσματα έχει κάθε σειρά;
Πηγή:

Προβλήματα από το βιβλίο του Ιταλού μαθηματικού Leonardo di Pisa- Leonardo Pisano- (Fibonacci) (1170-1250), «Liber Abaci», 1202.

Λύση

Λύση Ανώνυμος
x: αριθμός καθισμάτων 1ης σειράς
7η σειρά: x+6α=36 ----> 10x+10*6α=10*36 ----> 10x+60α=360 (1)
Συνολικά καθίσματα: x+(x+α)+(x+2α)+...+(x+9α)=300=>10x+α(1+2+..+9)=300 ----> 10x+45α=300 (2)
Αφαιρώντας κατά μέλη την (2) από την (1) κι’ έχουμε:
15α=60 ----> α=4 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
x+6α=36 ----> x+6*4=36 ----> x=12 (4)
Τα καθίσματα του γηπέδου δεν αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου, αφού είναι καθίσματα. Όμως τα πλήθη των καθισμάτων των σειρών του γηπέδου, αποτελούν εξ ορισμού όρους αριθμητικής προόδου, καθώς η κ σειρά έχει 12+4(κ-1) καθίσματα.

Οι Καρέκλες

Σε ένα οικογενειακό δείπνο κάθονται γύρω από το τραπέζι μια οικογένεια που αποτελείται από έναν παππού, μια γιαγιά, δύο πατέρες, δύο μητέρες, τέσσερα παιδιά, τρία εγγόνια, ένας αδερφός, δύο αδερφές, δύο γιοί, δύο κόρες, ένας πεθερός, μια πεθερά και μια νύφη.
Πόσες καρέκλες θα χρειαστούν;

Διευκρίνιση:

Η απάντηση ΔΕΝ είναι 23 καρέκλες!

Λύση

Θα χρειαστούν 7 καρέκλες.,
2 οι παππούς και γιαγιά (που είναι ταυτόχρονα και πατέρας-μητέρα)
2 οι γονείς (που είναι ταυτόχρονα και πατέρα-μητέρα αλλά και παιδι δηλαδή γιος-νύφη)
και 3 παιδιά 2 κορίτσια και 1 αγόρι (που είναι ταυτόχρονα 2 αδερφές και ένας αδερφός)

Τα Κέρματα

Εάν από τέσσερις ανθρώπους:

(α) Ο πρώτος, ο δεύτερος, και ο τρίτος όλοι μαζί είχαν 34 χρυσά νομίσματα.

(β) Ο πρώτος, ο δεύτερος, και ο τέταρτος όλοι μαζί είχαν 73 χρυσά νομίσματα.

(γ) Ο πρώτος, ο τρίτος, και ο τέταρτος όλοι μαζί είχαν 72 χρυσά νομίσματα.

(δ) Ο δεύτερος, ο τρίτος, και ο τέταρτος όλοι μαζί είχαν 88 χρυσά νομίσματα.

Πόσα χρυσά νομίσματα είχε ο καθένας; Και πόσα ήταν συνολικά.

Πηγή:
Από το βιβλίο του Leonardo (di Pisa) Fibonacci (1170-1230) «Liber Abbaci = Βιβλίο    Άβακος= Εγχειρίδιο    Αριθμητικής, 1202, β΄ έκδοση, 1228, αποτελούμενο από 15 κεφάλαια.», το οποίο  ο Gerolamo Cardano το συμπεριέλαβε στο βιβλίο του: Pratica Arithmeticæ et mensurandi singularis (The Practice of Arithmetic and  Simple Mensuratio), 1539 
https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasures-gerolamo-cardanos-practica-arithmetice 
Λύση

Συνολικά ήταν 89 χρυσά νομίσματα. Ο πρώτος είχε 1 χρυσό νόμισμα, ο δεύτερος είχε 17 χρυσά νομίσματα, ο τρίτοε είχε 16 χρυσά νομίσματα, και ο τέταρτος είχε 55 χρυσά νομίσματα. Έστω α, β, γ, και δ οι τέσσερις άνθρωποι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
α+β+γ+δ=? (1)
α+β+γ=34 (2)
α+β+δ=73 (3)
α+γ+δ=72 (4)
β+γ+δ=88 (5)
Προσθέτουμε κατά μέλη τις (2), (3), (4), και (5) κι’ έχουμε:
α+β+γ=34
α+β+δ=73
α+γ+δ=72
β+γ+δ=88
3*(α+β+γ+δ)=267 ----> α+β+γ+δ=267/3 -----> α+β+γ+δ=89 (6)
Αντικαθιστούμε τις (2), (3), (4), και (5) στην (6) κι’ έχουμε:
α+β+γ+δ=89 ----> 34+δ=89 ----> δ=89-34 ----> δ=55
α+β+γ+δ=89 ----> 73+γ=89 ----> γ=89-73 -----> γ=16
α+β+γ+δ=89 ----> 72+β=89 ----> β=89-72 ----> β=17
α+β+γ+δ=89 ----> α+88=89 ----> α=89-88 ----> α=1
Επαλήθευση:
α+β+γ+δ=? -----> 1+17+16+55=89 (?)
Ο Cardano προσθέτει απλώς τους τέσσερις αριθμούς μαζί, σημειώνοντας ότι το σύνολο 267, είναι ίσο με το τριπλάσιο του συνόλου. Ως εκ τούτου, ο συνολικός αριθμός των χρυσών νομισμάτων είναι 89 και είναι εύκολο να υπολογιστεί ο αριθμός των χρυσών νομισμάτων που είχε ο καθένας.

Η Απόσταση IV

Σε μια πάροδο ανάμεσα σε δύο σπίτια υπάρχουν δύο σκάλες που στηρίζονται στα 

δύο σπίτια. Η απόσταση ΑΔ είναι 8μ. και η απόσταση ΓΒ είναι 10 μ. Οι σκάλες 

διασταυρώνονται σε ύψος 4μ. από το έδαφος. Πόσο απέχουν τα δύο σπίτια;  

Διαβάστε περισσότερα »

Η Απόσταση ΙΙΙ

Στο ανωτέρω σχήμα , έχουμε δυο πασσάλους με ύψη 10μέτρα και 6μέτρα αντίστοιχα, οι οποίοι συνδέονται με δυο σχοινιά τα ΒΓ και ΑΔ.

(α)Αν η μεταξύ τους απόσταση, ΑΓ είναι ίση με 10μέτρα σε ποιο ύψος από το έδαφος ΑΓ βρίσκεται η τομή των σχοινιών;  (Σχήμα 1)

(β)Αν η μεταξύ τους απόσταση  ΑΓ είναι ίση με 16μέτρα σε ποιο ύψος από το έδαφος βρίσκεται τώρα  η τομή των δυο σχοινιών; (Σχήμα 2)

(γ)Εξηγήστε γιατί η απόσταση των πασσάλων είναι ανεξάρτητη από το ύψος των σχοινιών.

Διαβάστε περισσότερα »

Η Απόσταση ΙΙ

Στο ανωτέρω σχήμα οι ΑΔ και ΒΓ είναι κάθετες στη ΑΒ με ΑΒ=3εκ., ΑΓ=4εκ., και  ΒΔ=5εκ. Να βρεθεί πόσο απέχει το σημείο Ε από την ευθεία ΑΒ.

Πηγή: Άσκηση από διαγωνισμό του Α.Σ.Ε.Π

Διαβάστε περισσότερα »

Η Απόσταση

Δύο κατάρτια ενός πλοίου έχουν ύψος 6μ. και 4μ. αντίστοιχα. Συρμάτινα
καλώδια συνδέουν την κορυφή του καθενός με τη βάση του άλλου.
Τα καλώδια διασταυρώνονται σε ύψος 2,40μ.από το κατάστρωμα του
πλοίου. Σε τι ύψος διασταυρώνονται τα συρματόσχοινα;

Διαβάστε περισσότερα »