Η Λακκούβα

Τρία αδέλφια, ο Γιώργος, ο Ανδρέας, και ο Γιάννης  αποφάσισαν να φυτέψουν λεμονίες στο κήπο τους. Ο Γιώργος για να ανοίξει μία λακκούβα χρειάζεται 4 ώρες. Ο Ανδρέας για να ανοίξει μια λακκούβα των ίδιων διαστάσεων χρειάζεται 6 ώρες. Ενώ ο Γιάννης για να ανοίξει μια λακκούβα των ίδιων διαστάσεων χρειάζεται 8 ώρες. Πόσες ώρες θα χρειασθούν, εάν σκάψουν και τα τρία αδέλφια μαζί, για ν’ ανοίξουν μισή λακούβα;

Λύση

Όλοι μαζί θ’ ανοίξουν την λακκούβα σε 55 λεπτά και ≈24 δευτερόλεπτα (55:23,76΄΄) ή 55,38 λεπτά. x*(1/4 +1/6 +1/8)=1/2 --> x(6+4+3)=(1*24)/2 --> 13x=1*12 --> x=12/13 της ώρας Λύση του Ε. Αλεξίου. Σε μια ώρα σκάβουν μαζί το 1/4+1/6+1/8=13/24 του λάκκου, άρα όλο σε 24/13 ώρες και άρα τον μισό λάκκο σε 12/13 της ώρας, ή λίγο αλλιώς σε μια ώρα σκάβουν τα 1/2+1/3+1/4=13/12 του μισού λάκκου, άρα τον μισό λάκκο σε 12/13 της ώρας.

Rebus No.221 (8)

  Δύο Λύσεις.

Λύση

(α)Γράμματα (της αλφαβήτου) [Θεός=Ω] (β)Άχρηστος [Α(στερητικό) Χριστός]

Τα Κλειδιά

Πόσα κλειδιά, για την αποκωδικοποίηση ενός κειμένου, χρειάζονται σ’ ένα σύστημα δύο, τριών, τεσσάρων, ..., «n» χρηστών; (Κατ.5/Νο.94)

Πηγή:Μαθηματικοί Κατάσκοποι και Πειρατές της Πληροφορικής, Εκδ. 4π, Σελ. 12

Λύση

Α)Για δύο χρήστες χρειάζεται ένα μόνο κλειδί: C(n,2)=n*(n-1)/2=2*(2-1)/2=2-1=1 Β)Για τρεις χρήστες χρειάζονται τρία κλειδιά: C(n,2)=n*(n-1)/2=3*(3-1)/2=(3*2)/2=3 i)Ένα για την επικοινωνία ανάμεσα στον «Α» και στο «Β». ii) Ένα για την επικοινωνία ανάμεσα στον «Α» και στο «Γ». iii) Ένα για την επικοινωνία ανάμεσα στο «Β» και στο «Γ». Γ)Για τέσσερις χρήστες χρειάζονται έξι κλειδιά: i)Ένα για την επικοινωνία ανάμεσα στον «Α» και στο «Β». ii)Ένα για την επικοινωνία ανάμεσα στον «Α» και στο «Γ». iii)Ένα για την επικοινωνία ανάμεσα στο «A» και στο «Δ». iv) Ένα για την επικοινωνία ανάμεσα στο «Β» και στο «Γ». v) Ένα για την επικοινωνία ανάμεσα στο «Β» και στο «Δ». vi) Ένα για την επικοινωνία ανάμεσα στο «Γ» και στο «Δ». C(n,2)=n*(n-1)/2=4*(4-1)/2=(4*3)/2=2*3=6 Δ)Γενικά:Για «n» χρήστες χρειάζονται:C(n,2)=n*(n-1)/2 κλειδιά. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Κάρλο,δεν ξέρω πού βρήκες αυτό το θέμα, πάντως η ερώτηση δεν είναι σαφώς ορισμένη,ούτε έχει τετριμμένη απάντηση. Η λέξη "σύστημα" θα μπορούσε να σημαίνει χίλια-δυο διαφορετικά πράγματα, για τα οποία έχουν γραφτεί και γράφονται ολόκληρα βιβλία σχετικά με κρυπτογράφηση, δημόσια και ιδιωτικά κλειδιά (Public & Private Keys) και γενικά encryption. Θα επιχειρήσω μια γενική προσέγγιση ,μαντεύοντας και από το σχήμα, τι είναι αυτό που έχει κατά νού μάλλον ο ερωτών. Καταρχάς το πόσα κλειδιά απαιτούνται είναι συνάρτηση του βαθμού ασφαλείας που θέλουμε. Αυτό είναι προφανές. Ένα "σύστημα" θεωρητικά απόρθητο, θα μπορούσε να εξυπηρετηθεί και μέ ένα μόνο δημόσιο κλειδί, το ίδιο για όλους τους χρήστες. Τέτοιο σύστημα βεβαίως στην πράξη δεν υπάρχει, καθότι προϋποθέτει ιδανικές καταστάσεις ασφαλείας. Μιλώντας λοιπόν για one-way hash function κρυπτογραφία (δηλαδή "μίας κατεύθυνσης" πληροφορία)όπου δεν υπάρχει ανάδραση/αναπληροφόρηση (feedback)το θέμα λύνεται τετριμμένα. Για τον άλλο βασικό τύπο της "συμμετρικής κρυπτογράφησης" (Symmetric Cryptography)που είναι μάλλον αυτός που εννοεί ο ερωτών, μπορούμε να πούμε τα εξής: Για πλήρη ασφάλεια πρέπει να υπάρχει ένα ξεχωριστό κλειδί για κάθε ζεύγος χρηστών. Ήτοι για n χρήστες, [n(n-1)]/2 κλειδιά. Ο αριθμός είναι πολύ μεγάλος και η ασφαλής διανομή τόσων κλειδιών,προβληματική. Έτσι, ο συνηθέστερος (για "μέσα" επίπεδα ασφαλείας) τρόπος επικοινωνίας είναι η Public Key Cryptography (Κρυπτογράφηση δημοσίου κλειδιού) ,όπου χρησιμοποιείται ένα διαφορετικό κλειδί για κωδικοποίηση (encrypting) και διαφορετικό για αποκωδικοποίηση(decrypting). o A στέλνει στον Β το public key του και ο Β στον Α το δικό του public key. Ο Α μετά κωδικοποιεί το μύνημά του με το κλειδί του Β και τού το στέλνει, γνωρίζοντας πως μόνο ο Β (ο κάτοχος του ιδιωτικού του -private key κλειδιου)μπορεί να αποδικωποιήσει το μύνημα. Ομοίως και αντιστρόφως από τον Β στον Α. Με αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνονται πολλά οφέλη. Τα δημόσια κλειδιά μπορούν να αποθηκευτούν σε βάσεις δεδομένων (databases) έτσι ώστε να μην χρειάζεται να μεταδοθούν (και πιθανώς υποκλαπούν). Επιπροσθέτως λύνεται το πρόβλημα να θέλουμε ν(ν-1)/2 κλειδιά για ν χρήστες ,καθώς τώρα χρειάζονται μόνο 2ν κλειδιά .(ν ιδιωτικά,και ν δημόσια). Δεν μπορώ να το εξηγήσω καλύτερα, και βεβαίως υπάρχουν και άλλα συστήματα ,όπως τα υβριδικά (hybrid cryptosystems) με αρκετά πιο πολύπλοκα μαθηματικά,αλλά δεν είναι του παρόντος. Ενδιαφέροντα πράγματα πάντως, και μπράβο που διάλεξες κάτι πέρα από τα συμβατικά!

Rebus No.220 (8)

Λύση

Ραμαζάνι [Ρα*μα**ζα***νι****] *Ο Ρα ήταν για τους Αιγύπτιους ο θεός ήλιος με κεφάλι γερακιού. Ενώθηκε με τον Άμμωνα και αποτέλεσε τη μεγάλη δυναστική θεότητα της Αιγύπτου. Οι Αιγύπτιοι υποστήριζαν ότι αυτός έφτιαχνε τους ανθρώπους, και αυτοαποκαλούνταν τα ζωντανά του Ρα. Στο κεφάλι του είχε έναν ηλιακό δίσκο και το κεφάλι γερακιού ήταν όμοιο με εκείνο του Ώρου και του Σόκαρ. Με την πέμπτη δυναστεία (2494-2345 π.Χ.) είχε γίνει ένας σημαντικός θεός στην αρχαία Αιγυπτιακή θρησκεία, ο οποίος προσδιορίζεται κατά κύριο λόγο με τον μεσημεριανό ήλιο. Η έννοια του ονόματος είναι αβέβαιη, αλλά πιστεύεται ότι, αν δεν είναι μια λέξη για την «Ήλιος» μπορεί να είναι μια παραλλαγή του ή συνδέονται με λέξεις που σημαίνουν «δημιουργική δύναμη» και «δημιουργός». Το κύριο κέντρο λατρείας του ήταν η Ηλιόπολη (Αιγυπτιακή ονομασία lunu που σημαίνει 'ο τόπος των κιόνων'),που βγαίνει από τις ελληνικές λέξεις 'Ήλιος' και 'Πόλη'). Το κρυφό όνομα: Η Ίσις ήθελε ο Όσιρις να γίνει βασιλιάς στην Αίγυπτο. Έτσι έστειλε ένα φίδι (μια κόμπρα) να δαγκώσει τον Ρα, το βασιλιά όλων των θεών. Η Ίσις τού είπε πως θα τον γιατρέψει, αν εκείνος της αποκάλυπτε το μυστικό του όνομα, που ήταν ουσιαστικά το κλειδί της δύναμής του. Ο Ρα συμφώνησε και παρέδωσε τη δύναμή του στον Όσιρι. **Ο Jack Ma ή Ma Yun: είναι Κινέζος επιχειρηματίας και ο Εκτελεστικός Πρόεδρος της εταιρίας Alibaba Group. Είναι ο πρώτος Κινέζος επιχειρηματίας που εμφανίζεται στο εξώφυλλο του περιοδικού Forbes, περιοδικό όπου αξιολογεί τις δραστηριότητες των επιχειρηματιών ανά το κόσμο. *** Zsa Zsa Gabor (Sári Gábor): Ουγγαρέζα ηθοποιός ****Νι Γιουλάν: Κινέζα υπερασπίστρια των ανθρωπίνων δικαιωμάτων

Μαθηματικό Κουΐζ

Ο σημερινός γρίφος έχει σχέση με καθαρά μαθηματικές γνώσεις. 
I)Ποιο από τα παρακάτω κανονικά πολύγωνα δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη; 
a) 5-γωνο

b) 6-γωνο

c) 7 - γωνο

d) 9 - γωνο

e) 10-γωνο

f) 12 - γωνο

g) 17 – γωνο

h) 65.537 – γωνο 
II)Ποια είναι η χαρακτηριστική Όιλερ της σφαίρας;

a) 2   
b) 1 
c) -1 
d) -2 
e) 0 
III)Ποιος από τους παρακάτω τύπους ονομάζεται χαρακτηριστική Euler (Euler Gem);

a) E −F +V = 2  b) E −V +F = 0 
c) E −V +F = 2 
d) V −E +F = 2 
e) V + E - F= 3 
IV)Ποιο από τα παρακάτω γράμματα είναι τοπολογικά ισοδύναμο με το γράμμα J;

 a) O
 b) A
c) S
d) Q
e) L 
V)Mε πόσους τρόπους μπορούμε να μεταθέσουμε τέσσερα γράμματα;  

a) 4*(3−1)/2=4   
b) 4^2=16
c) 4!=24
d) 4!3!2!1!=288. 
VI)Ποια είναι η σωστή απάντηση στο παράδοξο του Joseph Bertrand;   

a) 1/2   
b) 1/3   
c) 1/4   
d) 1/6   
e) εξαρτάται.
VII)Ποιος ξεκίνησε την έρευνα της θεωρίας των πιθανοτήτων;

a) Bernoulli 
b) Euler 
c) Cardano 
d) Kolmogorov 
e) Fermat 
VIII)Ποια από τα παρακάτω θεωρήματα ή εικασίες δεν έχουν ακόμη αποδειχθεί;  

a) Goldbach 
b) Andrescu   
c) Fermat   
d) P vs NP problem   
e) Poincare
f) Collatz 

IX)Ποιος απέδειξε πρώτος ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί;

a) Gauss
b) Euclid 
c) Eudoxos   
d) Euler   
e) Perelman 
X)Δύο από τους παρακάτω αριθμούς είναι τέλειοι. Ποιοι είναι;

a) 2
b) 4
c) 6
d) 28
e) 100 
XI)Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι το θεώρημα Wilson; 

a) n!+1 διαιρείται με το n.
b) n!−1 διαιρείται με το n.
c) (n−1)!+1 διαιρείται με το n.
d) (n+1)!−1 διαιρείται με το n.
e) (n−1)!−1 διαιρείται με το n. 
X)Δύο από τους παρακάτω αριθμούς είναι τέλειοι. Ποιοι είναι;

a) 2
b) 4
c) 6
d) 28
e) 100 
XΙ)Δύο από τους παρακάτω αριθμούς είναι τέλειοι. Ποιοι είναι;

a) 2
b) 4
c) 6
d) 28
e) 100 (Κατ.27/Νο.394)

Ι)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/11_18.html

ΙΙ)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/10_26.html

ΙΙΙ)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/9_26.html

ΙV)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/8_25.html

V)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/7_20.html

VΙ)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/6_20.html

VΙI)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/5_19.html

VΙII)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/4_18.html

ΙX)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/3_4204.html

X)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/2_18.html

XΙ)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/1_17.html

Διαβάστε περισσότερα »

Rebus No.219 (6)

Λύση

Πράγμα (Αντικείμενο) [Π*ρα**(+γ)μα***] *Π=14/3, Παγκόσμια ημέρα του «π» **Τ’ όνομα του θεού Ρα γραμμένο με ιερογλυφικούς χαρακτήρες. ***Ο Jack Ma ή Ma Yun είναι Κινέζος επιχειρηματίας και ο Εκτελεστικός Πρόεδρος της εταιρίας Alibaba Group. Είναι ο πρώτος Κινέζος επιχειρηματίας που εμφανίζεται στο εξώφυλλο του περιοδικού Forbes, περιοδικό όπου αξιολογεί τις δραστηριότητες των επιχειρηματιών ανά το κόσμο.

Οι Στρατιώτες

Ένας Κινέζος στρατηγός κάθε πρωί μετράει τους στρατιώτες του και με την παρακάτω μέθοδο βρίσκει πόσοι λείπουν από τους 1.000 συνολικά που έχει. Στην πρωινή αναφορά τους ζητά να παραταχτούν σε σειρές των 11, 13 και 17, και μετρά πόσοι περισσεύουν κάθε φορά. Αν ένα πρωί δει ότι περισσεύουν 3 από τις σειρές των 11, 4 από τις σειρές των 13 και 9 από τις σειρές των 17, πόσοι είναι συνολικά οι στρατιώτες που έχουν παρουσιαστεί; (Κατ.34./Νο.712)

Πηγή:https://www.google.gr/#q=777686223.pdf

Λύση

Παρουσιάστηκαν 927 στρατιώτες. x ≡ 3 mod 11, x ≡ 4 mod 13, x ≡ 9 mod 17, έχει μοναδική λύση modulo n = 11*13*17 = 2.431. Ν1 = n/n1 = 13*17 = 221 M1 = (221)-1 mod 11 = 1-1 mod 11, Ν2 = n/n2 = 11*17 = 187 M2 = (187)-1 mod 13 = 5-1 mod 13, Ν3 = n/n3 = 11*13 = 143 M3 = (143)-1 mod 17 = 7-1 mod 17, M1 = 1, M2 = 8, M3 = 5. Άρα, x ≡ a1N1M1 + a2N2M2 + a3N3M3 mod n ≡ 927 mod 2.431 Λύση του Ε. Αλεξίου. X=3mod11 X=4mod13 X=9mod17 11*13*17=2431 11, 13*17=221=1mod11, 221*3=663=3mod11 13, 11*17=187=5mod13,187*6= 1122=4mod13 17, 11*13=143=7mod17, 143*11=1573=9mod17 663+1122+1573=3358 3358-2431=927=3mod11=4mod13=9mod17