Το Γινόμενο των Ηλικιών ΙΙ

Το γινόμενο των ηλικιών μιας μητέρας και των τριών παιδιών της ισούται με 41.041. Να βρεθούν:

(α) Οι ηλικίες των παιδιών.

(β)Η ηλικία της μητέρας.

(γ) Πριν πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας;

Διευκρίνιση:

Η διαφορά στο πρόβλημα (ΙΙ) από το πρόβλημα (Ι) έγκειται  στην πρόταση (γ) εν σχέσει με την πρόταση (ii) στο πρόβλημα (Ι). Βλέπε εδώ:

https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4661842447490996112#editor/target=post;postID=7083634674854551389;onPublishedMenu=allposts;onClosedMenu=allposts;postNum=21;src=postname

(Κατ.34)

Πηγή:https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDalVsNks4SHpRY0k/view

Πηγή: 5^ος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ο Επιμενίδης», Α΄ Γυμνασίου 29-10-2016

Λύση

Λύση του Voulagx.
http://users.uoi.gr/abeligia/NumberTheory/NT2014/NT_TheoreticalTopics2014.pdf
Συμφωνα με τα Κριτηρια Δαιρετοτητας του ανωτερω λινκ, εχουμε:
α=41041=10*4104+1
Α)Διαιρετοτητα δια του 7:
4104-2*1=4102
410-2*2=406
40-2*6=28=4*7=πολλ7 άρα: 7/41041
Β)Διαιρετοτητα δια του 11:
4*(-1)^5+1*(-1)^4+0*(-1)^3+4*(-1)^2+1*(-1)^1=-4+1-0+4-1=0=πολλ11 άρα: 11/41041
Γ)Διαιρετοτητα δια του 13:
4104-9*1=4095
409-9*5=364
36-9*4=36-36=0=πολλ9 άρα:13/41041
Συνεπως: 7*11*13/41041 και: 7*11*13*χ=41041 <=> χ=41041/(7*11*13)=41041/1001=41
Προφανως η ηλικια της μητερας ειναι 41 και των παιδιων 7,11 και 13.
Εστω οτι πριν απο χ χρονια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας. Τοτε:
(41-χ)=(13-χ)(11-χ)(7-χ), 0 μικρότερο χ μικρότερο 7
η εξισωση επαληθευεται για: χ=6.
Λύση του θεματοδότη.
Πριν 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας. Αναλύουμε τον αριθμό 41.041 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
41.041=7*11*13*41
Επομένως οι ηλικίες των τριών παιδιών είναι:
(α) 7 ετών, 11 ετών, και 13 ετών αντιστοίχως.
(β)Και της μητέρας η ηλικία είναι: 41 ετών.
(γ) Έστω ότι πριν από «y» χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.
Πριν «y» χρόνια ήταν:
Ηλικία μητέρας: (41–y)
Ηλικίες παιδιών: (7–y), (11–y), και (13–y) αντίστοιχα.
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
(41–y) = (7–y)*(11–y)*(13–y) (1)
(41–y) = -y^3+31*y^2–311*y+1.001
y^3–31*y^2+310*y–960=0
(y–6)*(y^2–25*y+160)=0
(y–6) = 0 ή (y^2–25*y+160)=0 (αδύνατη, διότι έχει Δ = -15 < 0)
Άρα: y=6
Επομένως πριν από 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.
Επαλήθευση: Πριν 6 χρόνια ήταν:
Ηλικία μητέρας: 41–6 = 35 ετών
Ηλικίες παιδιών: 7–6=1έτους, 11–6=5ετών, και 13–6=7ετών αντίστοιχα και το γινόμενο των ηλικιών τους ισούται με 1*5*7 = 35
Επαλήθευση:
(41–y) = (7–y)*(11–y)*(13–y) ---> 41-6=(7-6)*(11-6)*(13-6) ---> 35=1*5*7 ο.ε.δ.