Σάββατο, 25 Μαρτίου 2017

Ένα Παλιό Ρωσικό Πρόβλημα

Τρεις αδελφές πήγαν στο παζάρι να πουλήσουν κοτόπουλα. Η πρώτη αδελφή είχε 10 κοτόπουλα, η δεύτερη αδελφή είχε 16 κοτόπουλα, και η τρίτη αδελφή είχε 26 κοτόπουλα . Πούλησαν ένα μέρος από τα κοτόπουλα με τη ίδια τιμή. Το απόγευμα με το φόβο ότι θα τους έμεναν τα κοτόπουλα έριξαν τη τιμή και πούλησαν όλα τα υπόλοιπα κοτόπουλα με την ίδια τιμή. Στο τέλος της ημέρας κάθε αδελφή εισέπραξε 35 ρούβλια από την πώληση των κοτόπουλων.
Με ποια τιμή πούλησαν το ένα μέρος από τα κοτόπουλα το πρωΐ και με ποια τιμή πούλησαν τα υπόλοιπα κοτόπουλα το απόγευμα; (Κατ.34)

Λύση

(α)Το πρωί πούλησαν τα κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια το καθένα.
Η πρώτη αδελφή πούλησε 9 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 33,75 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή πούλησε 6 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 22,50 ρούβλια.
Και η τρίτη αδελφή πούλησε 1 κοτόπουλο προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 3,75 ρούβλια.
(β)Το απόγευμα πούλησαν τα κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια το καθ’ ένα.
Η πρώτη αδελφή πούλησε το τελευταίο κοτόπουλο προς1,25 ρούβλια και εισέπραξε 1,25 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή πούλησε τα 10 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 12,50 ρούβλια.
Και η τρίτη αδελφή πούλησε τα 25 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 31,25 ρούβλια.
Η πρώτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 1,25+ 33,75 = 35 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή εισέπραξε συνολικά 12,5 + 22,5 = 35 ρούβλια.
Η τρίτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 31,25 + 3,75 = 35 ρούβλια.

4 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Aν αναζητουμε ακεραιες λυσεις τοτε το πρωί πουλησαν απο 5 κοτοπουλα η καθεμια προς 7 ρουβλια το ενα και το απογεμα εδωσαν τα υπολοιπα τζαμπα.
Voulagx

Papaveri είπε...

@Voulagx
Ωραία απάντηση!! Μ' έκανες να γελάσω πολύ. Μπορεί αυτό το σκεπτικό να ίσχυε επί Σοβιετικού καθεστώτος. Προσπάθησα να βρω μια λύση, αλλά δεν μπόρεσα. Γι' αυτό κατέληξα σ' αυτή που θ' αναρτήσω σε λίγο.

Ανώνυμος είπε...

Καρλο, καπως...μαγικη η λυση σου. :)
Επιτρεψε μου να την απομαγεψω.
Εστω χ<10,ψ<16,ω<26 τα κοτοπουλα που πουλησαν το πρωΐ οι τρεις αδελφες αντιστοιχα, οπου χ,ψ,ω ακεραιοι θετικοι. Αν α η πρωινη τιμη πωλησης των κοτοπουλων και β η απογευματινη, οπου α,β ρητοι θετικοι με α>β, τοτε συμφωνα με τα δεδομενα του προβληματος:
χα+(10-χ)β=35 (1)
ψα+(16-ψ)β=35 (2)
ωα+(26-ω)β=35 (3)
Αφαιρουμε ανα δυο κατα μελη τις παραπανω εξισωσεις:
(1)-(2):[χα+(10-χ)β]-[ψα+(16-ψ)β]=0 <=> (χ-ψ)(α-β)=6β>0 (Α) αρα:χ>ψ
(2)-(3):[ψα+(16-ψ)β]-[ωα+(26-ω)β]=0 <=> (ψ-ω)(α-β)=10β>0 (Β) αρα:ψ>ω
(1)-(3):[χα+(10-χ)β]-[ωα+(26-ω)β]=0 <=> (χ-ω)(α-β)=16β (Γ)
Συνεπως: 10>χ>ψ>ω (4)
Διαιρουμε κατα μελη ανα δυο τις παραπανω εξισωσεις:
(Α)/(Β): (χ-ψ)/(ψ-ω)=6/10=3/5
(Α)/(Γ): (χ-ψ)/(χ-ω)=6/16=3/8
(Β)/(Γ): (ψ-ω)/(χ-ω)=10/16=5/8
Οι χ,ψ,ω ειναι ακεραιοι και λογω της (4) θα πρεπει:
χ-ψ=3
ψ-ω=5
χ-ω=8 <=> χ=8+ω<10 <=> ω<10-8=2 αρα: ω=1
Οποτε:
χ=8+ω=8+1=9
ψ-ω=5 <=> ψ=5+ω=5+1=6 [χ-ψ=3=9-6 επαληθευεται]
Αντικαθιστουμε στις (1) και (2) τα χ=9, ψ=6:
9α+(10-9)β=35=6α+(16-6)β <=> 9α+β=6α+10β <=> 3α=9β <=> α=3β
Αντικαθιστωντας στην (3) τα α=3β και ω=1 εχουμε:
α+(26-1)β=35 <=> 3β+25β=35 <=> 28β=35 <=> β=35/28=5/4=1,25 ρουβλια
αρα: α=3β=3*5/4=15/4=3,75 ρουβλια
Voulagx

Papaveri είπε...

@Voulagx
Ναι, πράγματι είναι μαγική η λύση μου Περίπου έτσι τη βρήκα στην ιστοσελίδα που αναφέρω.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes