Ο Γρίφος του Περιδέραιου

Κάποιος πήγε σ’ ένα χρυσοχόο δώδεκα κομμάτια μιας αλυσίδας, βλέπε σχήμα ανωτέρω, για να του φτάξει ένα περιδέραιο και τον ρώτησε ποιο θα είναι το κόστος της εργασίας. Ο χρυσοχόος εξέτασε τα κομμάτια και είπε πως μπορεί να γίνει.

Το κόστος για να κόψει και να ξανακλείσει έναν μικρό κρίκο είναι 1,50€. Το κόστος για να κόψει και να ξανακλείσει έναν μεγάλο κρίκο είναι 2,00€.

α) Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός κρίκων που πρέπει ν' ανοίξει, ώστε να ενώσει όλα τα κομμάτια και σε ποιες θέσεις θα μπουν, ώστε να σχηματίσει ένα περιδέραιο;

β)Πόσα χρήματα το λιγότερο πρέπει να ζητήσει ο χρυσοχόος, τηρώντας το κοστολόγιό του, ώστε να γίνει η εργασία συνένωσης των κομματιών της αλυσίδας; (Κατ.30/Νο.21)

Πρόσθετο ερώτημα του φίλου της ιστοσελίδας "Ανώνυμος", κρίμα που δεν αναφέρει τ΄ονομά του. 

γ)Ένα πρόσθετο ερώτημα για όποιον ενδιαφέρεται:

Εάν το κόστος ανοίγματος και κλεισίματος ενός μεγάλου κρίκου αυξηθεί πάνω από κάποια συγκεκριμένη τιμή, τότε για το (β) ερώτημα θα χρειάζεται να ανοίξει διαφορετικούς κρίκους από ότι στο (α) ερώτημα. Ποια είναι αυτή η τιμή; (Εννοείται, ότι το μοτίβο κρίκων -μικρός, μεγάλος εναλλάξ- θα πρέπει να διατηρηθεί)

Πηγή:Από το βιβλίο του Sam Loyd "Cyclopedia 5000 προβλημάτων", 1914

Λύση:

Ο χρυσοχόος θα ζητήσει το λιγότερο 17,00€.

 α)Ονομάζουμε τα 12 κομμάτια των αλυσίδων με τα γράμματα της  αλφαβήτου. Βλέπε σχήμα ανωτέρω. Ανοίγω όλους τους κρίκους στα κομμάτια «Δ» και «Λ»
και παίρνω κρίκους ΔΔδδδ  και ΛΛλλλ.Δηλαδή, 4 μεγάλους(ΔΔ και ΛΛ) και 6 μικρούς (δ, δ, δ και λ, λ, λ).

 

Μετά βάζω τα 10 υπόλοιπα κομμάτια στη σειρά. Βλέπε σχήμα ανωτέρω: 

Α, Β, Γ, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ, και Μ

και τα ενώνω με τους 10 κρίκους που άνοιξα: 

ΑδΒ, ΒδΓ, ΓΔΕ, ΕδΖ, ΖλΗ, ΗΔΘ, ΘλΙ, ΙλΚ, ΚΔΜ, και ΜΔΑ 

β)Σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος ο χρυσοχόος χρεώνει για το άνοιγμα και κλείσιμο των μεγάλων κρίκων 2,00€ για το άνοιγμα και κλείσιμο των μικρών κρίκων 1,50€, οπότε έχουμε:

(4x2,00) + (6x1,50) = 8,00+9,00 = 17,00€

γ)Λύση πρόσθετου ερωτήματος:

Στο πρόσθετο ερώτημα η απάντηση είναι 2,25€. Παρότι υπάρχει και λύση με άνοιγμα 2 μεγάλων και 9 μικρών κρίκων, η λύση αυτή υστερεί πάντοτε και το πολύ γίνεται ισάξια των άλλων όταν το κόστος ανοίγματος-κλεισίματος μεγάλου κρίκου γίνει 2,25€, οπότε το σύνολο είναι 18€. Πάνω από αυτήν την τιμή, το άνοιγμα 12 μικρών κρίκων είναι η βέλτιστη επιλογή.