Σάββατο, 14 Δεκεμβρίου 2013

Η Πόκα

Τρεις φίλοι παίζουν χαρτιά, το ίδιο παιχνίδι και πολλούς γύρους. Ανάλογα με τη σειρά επιτυχίας παίρνει πάντα ο καθένας ένα σταθερό ποσό, ένα ή
περισσότερα ευρώ. 
Στο τέλος έχουν συγκεντρώσει: 
Ο ένας 20€, ο άλλος 10€ και ο τελευταίος 9€
Να βρείτε: 
α)Πόσους γύρους έπαιξαν; 
β)Ποια ήταν τα ποσά για κάθε ένα βραβείο (θέση κατάταξης); 
Σημείωση
α) Όλα τα ποσά είναι ακέραιοι αριθμοί.
β) Τα βραβεία είναι τρία: 1o, 2ο, 3ο. (Κατ.34./Νο.666)
Πηγή:http://nikos-kritikos.blogspot.gr/2013/12/blog-post_12.html

Λύση

Λύση του batman1986. Έπαιξαν τρεις γύρους και τα ποσά για κάθε βραβείο ήταν 1ο βραβείο=8€, 2ο βραβείο=4€ και 3ο βραβείο=1€. α) Το συνολικό ποσό που μοιράστηκε είναι 39€(20€+10€+9€). Έστω «α» το ποσό για κάθε γύρο της 1ης θέσης, «β» το ποσό για κάθε γύρο της 2ης θέσης, και «γ» το ποσό για κάθε γύρο της 3ης θέσης. Έστω «κ» ο αριθμός των γύρων που παίχτηκαν. Σε κάθε γύρο μοιράζεται από μια φορά πάντα το «α», το «β», και το «γ». Άρα έχουμε κ*(α+β+γ)=39. Το «κ» πρέπει να διαιρεί ακέραια το 39. Το κ=1 απορρίπτεται λόγω εκφώνησης. Επίσης απορρίπτεται το κ=39. Αφού α+β+γ=1 (άτοπο αφού το μεγαλύτερο ποσό κάθε γύρου θα ήταν 1 και οι άλλοι 2 δεν θα παίρνανε τίποτα). Ομοίως απορρίπτεται το 13, αφού α+β+γ=3. Άρα 2+1+0(δηλαδή ο 3ος δεν παίρνει τίποτα). Οπότε η μόνη δεκτή λύση είναι 3 γύροι β)Καταρχήν το 1ο χρηματικό βραβείο πρέπει να είναι ποσό μεγαλύτερο του 6, διότι 3*6=18 μικρότερο του 20 (και τις 3 φορές να έβγαινε πρώτος δεν θα έφτανε το ποσό μας). Επίσης το ποσό του 1ου πρέπει να είναι 11 και μικρότερο, λόγω του ότι σε κάθε γύρο μοιράζονται 13€. Άρα α+β+γ=13. Προκύπτει ότι τα έπαθλα είναι 8€, 4€, και1€ αντίστοιχα. Αυτός που πήρε τα 20€ βγήκε 2 φορές 1ος και μία 2ος (2*8+4=20€). Αυτός που πήρε τα 10€, βγήκε μια φορά 1ος και 2 φορές 3ος (8+2*1=10€ ). Αυτός που πήρε τα 9€ βγήκε δύο φορές 2ος και μια φορά 3ος (2*4+1*1=9€). Αυτό προέκυψε με την απαίτηση: 2*α+β+0*γ=20, α+0*β+2*γ=10, 0*α+2*β+γ=9. Δηλαδή σπάσαμε την εξίσωση: κ*(α+β+γ)=39 --> 3*(α+β+γ)=20+10+9 σε 3 μέρη και λύσαμε το σύστημα.

7 σχόλια:

batman1986 είπε...

Λοιπόν όσον αφορά το α

Το συνολικό ποσό που μοιράστηκε είναι 39 ευρώ

Εστω α το ποσό γαι κάθ γύρο της 1ης θέσης β της 2ης και γ της 3ης

Έστω κ π αριθμός των γύρων που παίχτηκαν

Σε κάθε γύρο μοιράζεται από ια φορά πάντα το α β και γ

Άρα κ*(α+β+γ)=39

Το κ πρέπει να διαιρεί ακέραια το 39

Το κ=1 απορρίπτεται λόγω εκφώνησης

Επίσης απορίπτεται το κ=39

Αφούς α+β+γ=1 (άτοπο αφού το μεγαλύτερο ποσό κάθε γύρου θα ήταν 1 και οι άλλοι 2 δεν θα παίρναν τίποτα)

Όμοίως απορρίπτεται το 13 αφού α+β+γ=3

Άρα 2+1+0(δηλ ο 3ος δεν παίρνει τίποτα)


Οπότε η μόνη δεκτή λύση είναι 3 γύροι

β)Καταρχήν το 1ο χρηματικό βραβείο πρέπει να είναι ποσό μεγαλύτερο του 6 διότι 3*6=18<20(και τις 3 φωρές να έβγαινε πρώτος δεν θα έφτανε το ποσό μας)

Επίσης το ποσό του 1ου πρέπει να είναι 11 και μικρότερο

λόγω του ότι σε κάθε γύρο μοιράζονατι 13 ευρώ

Άρα α+β+γ=13

Προκύπτει ότι τα έπαθλα είναι 8,4,1 ευρώ αντίστοιχα

Αυτός που πήρε 20 βγήκε 2 φορές 1ος και μία 2ος(2*8+4=20)

Αυτός με τα 10, μια φορά 1ος και 2 3ος(8+1+1=10)

Αυτός με τα 9 , 2 φορές 2ος και μία 3ος (2*4+1=9)


Αυτό προέκυψε με την απάιτηση

2*α+β=20

α+2*γ=10

2*β+γ=9

Δηλ σπάσαμε την εξίσωση

3*(α+β+γ)=20+10+9 σε 3 και λύσαμε το σύστημα

batman1986 είπε...

Oριστε τι εννοώ

http://papaveri48.blogspot.gr/2013/04/rebus-no57-7.html

και εδώ πάλι ο ίδιος

http://papaveri48.blogspot.gr/2013/05/rebus-no59-7.html

Ε.ΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

20+10+9=39=3*13
Άρα 3 παιχνίδια και σε καθε παιχνίδι παίρνουν όλοι
μαζί 13 ευρώ, άρα άθροισμα 1ου+2ου+3ου βραβείου=13 ευρώ.
Με λίγο πειραματισμό αφού έχουμε μικρούς αριθμούς
βρισκω 1ο βρ.=8, 2ο βρ.=4, 3ο βρ.=1
Επαλήθευση
2*8+1*4+0*1=20
1*8+0*2+2*1=10
0*8+2*4+1*1=9

ΔΟΚΙΜΉ LaTeX
$ \ D _{ \ 12}=12!(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!} \pm \ldots + \frac{1}{12!})= 176214841$

Ανώνυμος είπε...

3 γύρους. Ποσά: 8-4-1

Papaveri είπε...

@batman1986
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή.

Papaveri είπε...

@Ε.ΑΛΕΞΙΟΥ
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή. Δυστυχώς η Δοκιμή με Latex δεν πέτυχε.

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes