Τετάρτη, 10 Ιουλίου 2013

Η Συνάντηση

Aπό μία σταθερή δοκό κρέμεται με μία ελαστική ταινία (μεγάλης αντοχής) μήκους 8cm, μία σφαίρα. Επί της ταινίας βρίσκονται δύο πασχαλίτσες, οι οποίες κινούνται η μία προς την άλλη, με ταχύτητα 1cm ανά δευτερόλεπτο. Όμως, σε κάθε εκατοστό που διανύουν, η ταινία λόγω του βάρους της σφαίρας επιμηκύνεται επιπλέον κατά 8cm. Θα συναντηθούν ποτέ οι δύο πασχαλίτσες ή όχι? Αν ναι,σε πόσο χρόνο? (Κατ.34/Νο.624)

Λύση

Λύση του Aπόκληρος Ιβανόης. Σε χρόνο t, το άκρο της ταινίας που επιμηκύνεται είναι σε απόσταση έστω l(t)=L+Vt από τη δοκό (όπου L το αρχικό μήκος ταινίας και V η ταχύτητα επιμήκυνσης). Ότι ισχύει για τη μια πασχαλιτσα ισχυει και για την άλλη κι ετσι (χάριν απλότητας) μπορουμε να θεωρήσουμε το προβλημα ισοδυναμο με μία πασχαλιτσα διπλάσιας ταχύτητας που προσπαθεί να φτάσει από το κάτω άκρο δτην δοκό. Έστω οτι αυτη η απόσταση συναρτήσει του χρόνου t είναι x(t) .Αντιστοιχεί σε κλάσμα μ'ήκους της ταινίας: Κ(t)=x(t)/l(t) . To ζητούμενο του προβλήματος ισοδυναμεί με την ερώτηση: "Για ποιά τιμή του χρόνου t γίνεται το κλάσμα Κ(t) ίσο με 0; (αν υπάρχει δηλαδή τέτοια τιμή t) Για να απαντηθεί αυτο, πρέπει να δουμε πώς μεταβάλεται το Κ(t) συναρτήσει του χρόνου. Ουσιαστικά δηλαδή, πρέπει να λύσουμε την διαφορική εξίσωση που προκύπτει. Μετά από μια απειροελάχιστη μεταβολή χρόνου dt, η θέση της πασχαλίτσας x, αυξάνεται (απομακρύνεται δηλαδή από τη δοκό) κατά (x/l)*V dt εξαιτίας του τεντώματος και ταυτόχρονα μειώνεται (πλησιάζει στη δοκό) κατά u dt εξαιτίας της κίνησής της (με ταχύτητα πασχλίτσας ,γενικά, έστω u) Άρα έχουμε: K(t+dt)=(x+(x/l)Vdt-udt) / l+Vdt = (x/l) -(udt)/(l+Vdt) (1) Tη πρώτη τάξηι ως προς dt η (1) δίνει: K(t+dt)=K(t)-(u/l) dt (2) M'άλλα λόγια , το K(t) βαίνει μειούμενο ,εξαιτίας του γεγονότος πως σε χρόνο dt η πασχαλίτσα διανύει μια απόσταση udt σε σχέση με την ταινία , που έχει μήκος l(t). H εξίσωση (2) δίνει: dK(t)/dt = -u/l (3) Aντικαθιστώντας l(t)=L+V*t και με ολοκλήρωση στην (3), έχουμε: K(t)= 1-(u/V)*ln(1+(V/L)*t) (4) όπου η σταθερά Ολοκλήρωσης επιλέχτηκε ώστε να ικανοποιεί την Κ(0)=1 (το "όλον" της ταινίας) Μπορούμε λοιπόν ,μας δείχνει η λύση της διαφορικής εξίσωσης, για ΟΠΟΙΕΣΔΗΠΟΤΕ θετικές τιμές των u και V να κάνουμε το K(t)=0 (που είναι το ζητούμενο) ,θέτοντας απλά : t=(L/V)*(e^(V/u) -1) (5) Στην περίπτωσή μας: L/V=1 , V=8,u=2 , άρα η (5) δίνει: t=e^(8/2)-1 =53,59815...sec. Σε τόσο χρόνο θα συναντηθούν οι πασχαλίτσες (ή θα φτάσει η κάτω πασχαλίτσα την δοκό) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1: Για μεγάλες ταχύτητες επιμήκυνσης ,δηλαδή για μεγάλο V/u o χρόνος που θα χρειαστεί η πασχαλίτσα γίνεται ΕΚΘΕΤΙΚΑ μεγάλος, αλλά ΠΑΝΤΑ φτάνει (αργά ,αλλά σίγουρα!) στο τέλος σε πεπερασμένο χρόνο! Για μικρά αντιθέτως V/u η (5) δίνει (προσεγγιστικά) t=L/u (όπως θα αναμενόταν). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2: Αν γενικά ισχύει «u» μικρότερο «V», τότε τα έντομα αρχικά θα απομακρύνονται μεταξύ τους (ή εναλλακτικά το ένα από τη δοκό/άκρη)πριν τελικά αρχίσουν να μειώνουν την απόσταση ώσπου να συναντηθούν. Έχει ενδιαφέρον, παρότι δεν το ζητάει το πρόβλημα, να βρει κάποιος πόση είναι αυτή η μέγιστη απόσταση απομάκρυνσης. Απόσταση= x(t)=K(t)l(t)= =(1-(u/V)ln(1+(V/l)t))(L+Vt) (6) Παραγωγίζοντας την (6) και εξισώνοντας με το 0 , έχουμε: (1-(u/V) ln(1+(V/L)t))V -u=0 (7) Λύνοντας ως προς t,έχουμε: tmax=(L/V)(e^(V/(u-1) -1) (8) (8) στην (6),δίνει: xmax=(u/V)(L/e)e^(V/u) (9) O γενικός τύπος (9) στην περίπτωσή μας (V=4u) ,δίνει: xmax=(1/4e)e^4 = 37,10 L (δηλαδή περίπου 37 "μήκη ταινίας" Μια δεύτερη θεώρηση του προβλήματος είναι η "κβαντισμένη". Να θεωρηθεί δηλαδή ότι οι σχετικές αποστάσεις /ταχύτητες είναι διακριτές και όχι συνεχείς. Αυτό έχει την έννοια του "σπασίματος" του συνεχούς χρόνου σε "στιγμές" . Η ταινία διπλασιάζει μήκος και ΤΟΤΕ οι πασχαλίτσες κάνουν από 1 εκ(=βήμα).δηλαδή ο διπλασιασμός της ταινίας και η κίνηση των εντόμων να συμβαινει ΜΟΛΙΣ (μετά που θα) περάσει ένα δευτερόλεπτο. Μ'αυτή την θεώρηση μπορούμε να σκεφτούμε ως εξής: Μετά το 1ο βήμα ,το έντομο έχει κανει 1εκ. δηλ. 1/4 της ελαστικής ταινίας, ΚΑΘΟΣΟΝ το βάρος τεντώνει την ταινία στο 8/2 (4εκ.) και το άλλο έντομο απέχει τώρα 2 εκ. Στο επόμενο 2ο βήμα (άλλο 1 εκ.)κι αυτό αντιστοιχεί τωρα σε: 1/(4+4)=1/8 ταινίας. Το επόμενο (3ο) σε 1/(8+4)=1/12 κ.λ.π. Έτσι,ας πούμε σε 5 βήματα έχει διανύσει απόσταση που αντιστοιχεί σε κλάσμα του ολικού μήκους της ταινίας ίσο με: 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/16 + 1/20 ή (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5)/4 Για τη "συνάντηση" λοιπόν πρέπει να έχουμε: 1 +1/2 +1/3+1/4+...+1/ν=4 Το άθροισμα ν όρων αυτής της αρμονικής σειράς είναι ως γνωστόν (προσεγγιστικά): ln(ν)+γ+1/2ν (όπου γ η σταθερά Όυλερ-Μασκερόνι) Άρα έχουμε: ln(ν)+0,5772156649+1/2ν =4 Θεωρώντας το 1/2ν αμελητέο(σχεδόν μηδέν) ,έχουμε: ln(ν)=3,422784336 άρα τελικά: ν=e^3,422784336= περίπου 30,65 sec. Αυτή ή λύση είναι πολύ "χοντρική", για να μη πω μπακάλικη . Κάποιος θα μπορουσε να την πει και λανθασμένη ,καθότι αν σπάσουμε τα διαστήματα σε ακόμη μικρότερα του δευτερολέπτου "στιγμές" θα έχουμε άλλο αποτέλεσμα (πιο κοντινό στο αυστηρά σωστό, που προκύπτει με τη διαφορική εξίσωση). Αλλά αυτη η "κβαντική-κατατμηματική" αντιμετώπιση του προβλήματος δείχνει τη φυσική σημασία του θέματος. Οι πασχαλίτσες τελικά συναντιούνται γιατί η αρμονική σειρά αποκλίνει! Και θα συναντιουνται ΠΑΝΤΑ ακόμη και για πολύ μεγάλες επιμηκύνσεις της ταινίας και πολύ μικρές δικές τους ταχύτητες. Ο χρόνος όμως που θα απαιτειται τότε θα είναι ΠΟΛΥ μεγάλος. Σημ. Αν όμως η ταινία επιμηκυνθεί όχι με σταθερή ταχυτητα αλλά επιταχυνόμενα, οι πασχαλίτσες ΔΕΝ θα συναντηθούν!

5 σχόλια:

Aπόκληρος Ιβανόης είπε...

Σε χρόνο t, το άκρο της ταινίας που επιμηκύνεται είναι σε απόσταση έστω l(t)=L+Vt από τη δοκό (όπου L το αρχικό μήκος ταινίας και V η ταχύτητα επιμήκυνσης)
Ότι ισχύει για τη μια πασχαλιτσα ισχυει και για την άλλη κι ετσι (χάριν απλότητας) μπορουμε να θεωρήσουμε το προβλημα ισοδυναμο με μία πασχαλιτσα διπλάσιας ταχύτητας που προσπαθεί να φτάσει από το κάτω άκρο δτην δοκό. Έστω οτι αυτη η απόσταση συναρτήσει του χρόνου t είναι x(t) .Αντιστοιχεί σε κλάσμα μ'ήκους της ταινίας: Κ(t)=x(t)/l(t) . To ζητούμενο του προβλήματος ισοδυναμεί με την ερώτηση: "Για ποιά τιμή του χρόνου t γίνεται το κλάσμα Κ(t) ίσο με 0; (αν υπάρχει δηλαδή τέτοια τιμή t)
Για να απαντηθεί αυτο, πρέπει να δουμε πώς μεταβάλεται το Κ(t) συναρτήσει του χρόνου. Ουσιαστικά δηλαδή, πρέπει να λύσουμε την διαφορική εξίσωση που προκύπτει. Μετά από μια απειροελάχιστη μεταβολή χρόνου dt, η θέση της πασχαλίτσας x, αυξάνεται (απομακρύνεται δηλαδή από τη δοκό) κατά (x/l)*V dt εξαιτίας του τεντώματος και ταυτόχρονα μειώνεται (πλησιάζει στη δοκό) κατά u dt εξαιτίας της κίνησής της (με ταχύτητα πασχλίτσας ,γενικά, έστω u)
Άρα έχουμε: K(t+dt)=(x+(x/l)Vdt-udt) / l+Vdt = (x/l) -(udt)/(l+Vdt) (1)
Tη πρώτη τάξηι ως προς dt η (1) δίνει:
K(t+dt)=K(t)-(u/l) dt (2)
M'άλλα λόγια , το K(t) βαίνει μειούμενο ,εξαιτίας του γεγονότος πως σε χρόνο dt η πασχαλίτσα διανύει μια απόσταση udt σε σχέση με την ταινία , που έχει μήκος l(t).
H εξίσωση (2) δίνει: dK(t)/dt = -u/l (3)
Aντικαθιστώντας l(t)=L+V*t και με ολοκλήρωση στην (3), έχουμε:
K(t)= 1-(u/V)*ln(1+(V/L)*t) (4)
όπου η σταθερά Ολοκλήρωσης επιλέχτηκε ώστε να ικανοποιεί την Κ(0)=1 (το "όλον" της ταινίας)
Μπορούμε λοιπόν ,μας δείχνει η λύση της διαφορικής εξίσωσης, για ΟΠΟΙΕΣΔΗΠΟΤΕ θετικές τιμές των u και V να κάνουμε το K(t)=0 (που είναι το ζητούμενο) ,θέτοντας απλά : t=(L/V)*(e^(V/u) -1) (5)
Στην περίπτωσή μας: L/V=1 , V=8,u=2 , άρα η (5) δίνει: t=e^(8/2)-1 =53,59815...sec. Σε τόσο χρόνο θα συναντηθούν οι πασχαλίτσες (ή θα φτάσει η κάτω πασχαλίτσα την δοκό)
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Για μεγάλες ταχύτητες επιμήκυνσης ,δηλαδή για μεγάλο V/u o χρόνος που θα χρειαστεί η πασχαλίτσα γίνεται ΕΚΘΕΤΙΚΑ μεγάλος, αλλά ΠΑΝΤΑ φτάνει (αργά ,αλλά σίγουρα!) στο τέλος σε πεπερασμένο χρόνο! Για μικρά αντιθέτως V/u η (5) δίνει (προσεγγιστικά) t=L/u (όπως θα αναμενόταν).
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2: Aν γενικά ισχύει (όπως στην περίπτωσή μας) u=u πάντα) (9)
Ο γενικός τύπος (9) δίνει στην περίπτωσή μας(όπου V=4u): xmax=(1/4e)*e^4= 37,10 L (δηλαδή σχεδόν 37 "μήκη ταινίας")

Απόκληρος Ιβανόης είπε...

Μια δεύτερη θεώρηση του προβλήματος είναι η "κβαντισμένη". Να θεωρηθεί δηλαδή ότι οι σχετικές αποστάσεις /ταχύτητες είναι διακριτές και όχι συνεχείς. Αυτό έχει την έννοια του "σπασίματος" του συνεχούς χρόνου σε "στιγμές" . Η ταινία διπλασιάζει μήκος και ΤΟΤΕ οι πασχαλίτσες κάνουν από 1 εκ(=βήμα).δηλαδή ο διπλασιασμός της ταινίας και η κίνηση των εντόμων να συμβαινει ΜΟΛΙΣ (μετά που θα) περάσει ένα δευτερόλεπτο.
Μ'αυτή την θεώρηση μπορούμε να σκεφτούμε ως εξής: Μετά το 1ο βήμα ,το έντομο έχει κανει 1εκ. δηλ. 1/4 της ελαστικής ταινίας, ΚΑΘΟΣΟΝ το βάρος τεντώνει την ταινία στο 8/2 (4εκ.) και το άλλο έντομο απέχει τώρα 2 εκ. Στο επόμενο 2ο βήμα (άλλο 1 εκ.)κι αυτό αντιστοιχεί τωρα σε: 1/(4+4)=1/8 ταινίας. Το επόμενο (3ο) σε 1/(8+4)=1/12 κ.λ.π. Έτσι,ας πούμε σε 5 βήματα έχει διανύσει απόσταση που αντιστοιχεί σε κλάσμα του ολικού μήκους της ταινίας ίσο με:
1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/16 + 1/20
ή (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5)/4
Για τη "συνάντηση" λοιπόν πρέπει να έχουμε:
1 +1/2 +1/3+1/4+...+1/ν=4
Το άθροισμα ν όρων αυτής της αρμονικής σειράς είναι ως γνωστόν (προσεγγιστικά):
ln(ν)+γ+1/2ν (όπου γ η σταθερά Όυλερ-Μασκερόνι)
Άρα έχουμε:
ln(ν)+0,5772156649+1/2ν =4
Θεωρώντας το 1/2ν αμελητέο(σχεδόν μηδέν) ,έχουμε:
ln(ν)=3,422784336
άρα τελικά: ν=e^3,422784336= περίπου 30,65 sec.
Αυτή ή λύση είναι πολύ "χοντρική", για να μη πω μπακάλικη . Κάποιος θα μπορουσε να την πει και λανθασμένη ,καθότι αν σπάσουμε τα διαστήματα σε ακόμη μικρότερα του δευτερολέπτου "στιγμές" θα έχουμε άλλο αποτέλεσμα (πιο κοντινό στο αυστηρά σωστό, που προκύπτει με τη διαφορική εξίσωση).
Αλλά αυτη η "κβαντική-κατατμηματική" αντιμετώπιση του προβλήματος δείχνει τη φυσική σημασία του θέματος. Οι πασχαλίτσες τελικά συναντιούνται γιατί η αρμονική σειρά αποκλίνει! Και θα συναντιουνται ΠΑΝΤΑ ακόμη και για πολύ μεγάλες επιμηκύνσεις της ταινίας και πολύ μικρές δικές τους ταχύτητες. Ο χρόνος όμως που θα απαιτειται τότε θα είναι ΠΟΛΥ μεγάλος.
Σημ. Αν όμως η ταινία επιμηκυνθεί όχι με σταθερή ταχυτητα αλλά επιταχυνόμενα, οι πασχαλίτσες ΔΕΝ θα συναντηθούν!

Papaveri είπε...

@Aπόκληρος Ιβανόης
Μπράβο σας. Τελικά η λύση ήταν δύσκολη, ουτέ εγώ μπόρεσα να το λύσω. Γι' αυτό ίσως δεν το έλυσε κανένας τόσο καιρό. Ελπίζω να σας έχουμε στη παρέα μας.

Απόκληρος Ιβανόης είπε...

Η ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2 στο αρχικό μου σχόλιο να αντικατασταθεί από:

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2: Aν γενικά ισχύει (όπως στην περίπτωσή μας) u=u πάντα) (9)
Ο γενικός τύπος (9) δίνει στην περίπτωσή μας(όπου V=4u): xmax=(1/4e)*e^4= 37,10 L (δηλαδή σχεδόν 37 "μήκη ταινίας")

Απόκληρος Ιβανόης είπε...

Δεν ξέρω γιατί δεν εμφανίζεται σωστά η ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2. Κάνω μια τελευταία προσπάθεια:
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2.
Αν γενικά ισχύει u<V, τότε τα έντομα αρχικά θα απομακρύνονται μεταξύ τους (ή εναλλακτικά το ένα από τη δοκό/άκρη)πριν τελικά αρχίσουν να μειώνουν την απόσταση ώσπου να συναντηθούν.
Έχει ενδιαφέρον,παρότι δεν το ζητάει το πρόβλημα, να βρει κάποιος πόση είναι αυτή η μέγιστη απόσταση απομάκρυνσης.
Απόσταση= x(t)=K(t)l(t)=
=(1-(u/V)ln(1+(V/l)t))(L+Vt) (6)
Παραγωγίζοντας την (6) και εξισώνοντας με το 0 , έχουμε:
(1-(u/V) ln(1+(V/L)t))V -u=0 (7)
Λύνοντας ως προς t,έχουμε:
tmax=(L/V)(e^(V/(u-1) -1) (8)
(8) στην (6),δίνει:

xmax=(u/V)(L/e)e^(V/u) (9)
O γενικός τύπος (9) στην περίπτωσή μας (V=4u) ,δίνει:
xmax=(1/4e)e^4 = 37,10 L (δηλαδή περίπου 37 "μήκη ταινίας")

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes