Το Όνομα της Κόρης

Η κόρη μου έκανε την εξής παρατήρηση, λέει η κυρία Μαρία στη φίλη της:

"Εάν δώσει στα γράμματα του ονόματός της την αξία που κατέχουν στο αλφάβητο, π.χ, Α=1, Β=2, Γ=3, κ.ο.κ.ε. και τα πολλαπλασιάσει όλα μεταξύ τους, βρίσκει γενικό γινόμενο 169." Μήπως μπορείτε να μαντέψετε πως ονομάζεται η κόρη της; (Κατ.5/Πρβλ. Νο.16)

Παραλλαγή:

Επίσης, εάν δώσει στα γράμματα, του πολυτιμότερου προσώπου μέσα στην οικογένεια, την αξία που κατέχουν στο αλφάβητο και τα πολλαπλασιάσει όλα μεταξύ τους, βρίσκει γενικό γινόμενο 144. Μήπως μπορείτε να μαντέψετε ποιο είναι το πολυτιμότερο αυτό πρόσωπο;

Λύση

Βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, εάν στα γράμματα της
αλφαβήτου,από το Α έως το Ω, δώσουμε τις τιμές, από το 1 έως το 24,
το γράμμα «Ν» κατέχει τη 13η θέση. Εφ’ όσον το γενικό γινόμενο
ισούται με 169, σημαίνει ότι στο όνομα υπάρχουν δύο "N", μιας και
το 13*13 ισούται με 169. Το γινόμενο δε μεταβάλλεται αν
πολλαπλασιαστεί άπειρες φορές με τη μονάδα. Το όνομά της, λοιπόν,
μπορεί να περιλαμβάνει και πολλά «Α». Δύο όμως μας αρκούν. Βάσει του
κατωτέρω τύπου των μεταθέσεων έχουμε:
Μμ = 1*2*3*,…,*μ = μ!
4!=1*13*13*1=169 --> 4!= 13*1*13*1=169
Εάν αντικαταστήσουμε τους αριθμούς με τα γράμματα της αλφαβήτου ,
όπου 1=Α και όπου 13=Ν, έχουμε τα ονόματα: ΑΝΝΑ και ΝΑΝΑ.
Παραλλαγή
Βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, εάν στα γράμματα της
αλφαβήτου, από το Α έως το Ω, δώσουμε τις τιμές, από το 1
έως το 24, το γράμμα «Μ» κατέχει τη 12η θέση. Εφ’ όσον το
γενικό γινόμενο ισούται με 144, σημαίνει ότι στο όνομα
υπάρχουν δύο «Μ», μιας και το 12*12 ισούται με 144. Το
γινόμενο δε μεταβάλλεται αν πολλαπλασιαστεί άπειρες φορές με
τη μονάδα. Το όνομά της, λοιπόν, μπορεί να περιλαμβάνει και
πολλά «Α». Δύο όμως μας αρκούν. Βάσει του κατωτέρω τύπου των
μεταθέσεων έχουμε:
Μμ = 1*2*3*,…,*μ = μ!
4!= 12*1*12*1=144
Εάν αντικαταστήσουμε τους αριθμούς με τα γράμματα της αλφαβήτου,
όπου 1=Α και όπου 12 = Μ, έχουμε τα ονόματα: ΜΑΜΑ, το ιερότερο
πρόσωπο μέσα στην οικογένεια με το πιο γλυκό όνομα.
(Μάννα, Μητέρα, Μαμά)!!!

Ο Έμπορος των Μήλων *

Ένας έμπορος μήλων, μετρώντας τα μήλα του, διαπιστώνει τα εξής:

Ø      Ανά δύο, μένει υπόλοιπο 1 μήλο.

Ø      Ανά τρία, μένουν υπόλοιπο 2 μήλα.

Ø      Ανά τέσσερα, μένουν υπόλοιπο 3 μήλα.

Ø      Ανά πέντε, μένουν υπόλοιπο 4 μήλα.

Ø      Ανά έξι, μένουν υπόλοιπο 5 μήλα. Και

Ø      Ανά επτά, δεν μένει υπόλοιπο κανένα μήλο.

Πόσα μήλα έχει, εάν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός τους είναι μικρότερος του 200;

(του Glaude Gaspard Bachet)

(Κατ.5/Πρβλ. Νο.9)

*Από το βιβλίο του Leonardo (di Pisa) Fibonacci (1170-1230)
"Liber Abbaci" - Βιβλίο  Άβακος = Εγχειρίδιο   Αριθμητικής,
αποτελούμενο από 15 κεφάλαια.α΄ έκδοση,1202, β΄ έκδοση, 1228,

 Λύση

Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών
2,3,4,5 και 6 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π.= 22*3*5 = 60  Ε.Κ.Π.= 4*3*5 = 60
Συνεπώς ο (Ν+1) είναι ένα πολλαπλάσιο του 60: (Ν+1)=60, (Ν+1)=120,
(Ν+1)=180, (Ν+1)=240,…, (Ν+1)=∞. Και Ν=(Πολλαπλάσιο-1), δηλαδή,
Ν=60-1=59, Ν=120-1=119, Ν=180-1=179, Ν=240-1 =239,…, Ν= ∞-1= ∞.
Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως διαλέγουμε τα πολλαπλάσια που
είναι μικρότερα του 200 και από αυτά διαλέγουμε τα πολλαπλάσια του
7, που είναι μόνο το 119.Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν=119

Ο Αριθμός

Ένας αριθμός, μικρότερος του 1000, διαιρούμενος με το 3, 11 και το 17 δίνει πάντοτε υπόλοιπο 2. Ποιος είναι ο αριθμός αυτός;  
(Κατ5/Πρβλ. Νο.11)

Λύση

Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν = n + 2. Από τη σειρά των αριθμών
3,11 και 17 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π. = 3*11*17=561 --> n = 561.
Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν = n+2 --> Ν=561+2 --> Ν=563
Βάσει του τύπου Δ = (δ * π) + υ έχουμε:
Α)563 =187*3 + 2, Β)563 = 51*11 + 2, Γ)563 = 33*17 + 2 ο.ε.δ.

Το Κωδωνοστάσιο

 

Στο κωδωνοστάσιο μιας μεγάλης εκκλησίας υπάρχουν τρεις καμπάνες, οι οποίες λειτουργούν με ρεύμα. Η πρώτη  κτυπάει κάθε 5 δευτερόλεπτα, η δεύτερη κτυπάει κάθε 6 δευτερόλεπτα και η τρίτη κτυπάει κάθε 8 δευτερόλεπτα. Αν κτυπήσουν όλες μαζί το πρώτο κτύπο, ύστερα από πόσα δευτερόλεπτα θα κτυπήσουν πάλι μαζί;  

(Κατ.5/Πρβλ. Νο.12)

Λύση

Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 5,6
και 8 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π.= 23*3*5 --> Ε.Κ.Π.= 8*3*5 = 120,
το οποίο εκφράζεται σε δευτερόλεπτα,δηλαδή 120:60 = 2 λεπτά.
Οι καμπάνες θα κτυπήσουν και οι τρεις μαζί μετά από 2 λεπτά. Άρα ο
ζητούμενος αριθμό Ν είναι ο 120.

Η Σχολική Εκδρομή

Ο συνολικός αριθμός των μαθητών, που συμμετέχουν στην ετήσια σχολική εκδρομή, εάν χωρισθεί σε ομάδες τω 3, 4, ή 5 ατόμων δεν μένει κανένας μόνος του. Εάν απομακρυνθούν 4 μαθητές, τότε μπορούν να σχηματισθούν ομάδες των 7 ατόμων. Πόσοι είναι συνολικά οι μαθητές που συμμετέχουν στη σχολική αυτή εκδρομή; (Κατ.5/Πρβλ. Νο.7)

Λύση

Οι μαθητές που συμμετέχουν είναι 60 ή 480. Από το τύπο, ν!=1*2*3*4*…*n, των μεταθέσεων
προκύπτουν:
ν = Το πλήθος των όρων της σειράς.
ν! = Νι Παραγοντικό.
n =Οι φυσικοί αριθμοί:1,2,3,4……∞.
3!=3*4*5=60 μαθητές. Εάν απομακρυνθούν 4 μαθητές θα έχουμε:
60-4=56 --> 56:7=8 ομάδες.
Επαλήθευση:
60 μαθητές : 3 άτομα = 20 ομάδες των 3 ατόμων.
60 μαθητές : 4 άτομα = 15 ομάδες των 4 ατόμων.
60 μαθητές : 5 άτομα = 12 ομάδες των 5 ατόμων.
Α΄Λύση
60 μαθητές – 4 μαθητές = 56 μαθητές : 7 άτομα = 8 ομάδες των 7 ατόμων.
Β΄Λύση
480μαθητές-4μαθητές = 476μαθητές:7άτομα=68ομάδες των 7 ατόμων

Τα Αυγά

Μία χωρική πηγαίνει στην αγορά με δύο καλάθι γεμάτα αυγά, για να τα πουλήσει. Ο αριθμός αυτών των αυγών διαιρούμενος με τους αριθμούς:2,3,4,5 και 6 αφήνει πάντα ένα αυγό υπόλοιπο. Ενώ εάν αυτός ο αριθμός διαιρεθεί με το 7, δεν αφήνει κανένα υπόλοιπο. Μπορείτε να βρείτε πόσα αυγά είχε η χωρική μέσα στο καλάθι της με τα κάτωθι δεδομένα;
α)Εάν είναι περισσότερα από 700 και λιγότερα από 800. (Έχει δύο λύσεις.)

β)Εάν είναι περισσότερα από 200 και λιγότερα από 400. (Έχει μία λύση.)

(Κατ.5/Πρβλ. Νο.5)

Λύση

Α) Περισσότερα από 700 και λιγότερα από 800.
Λύση Α΄
Είχε 721 αυγά. Από το τύπο, ν!=1*2*3*4*…*n, των μεταθέσεων έχουμε:
ν = Το πλήθος των όρων της σειράς.
ν! = Νι Παραγοντικό.
n =Οι φυσικοί αριθμοί:1,2,3,4……∞.
5! = 2*3*4*5*6=720+1*=721 αυγά.
* Αφορά το υπόλοιπο από την εκάστοτε διαίρεση με τους ανωτέρω αριθμούς.
Λύση Β΄
Ο αριθμός των αυγών πρέπει να είναι κατά μία μονάδα μεγαλύτερος από
έναν αριθμό που έχει κοινούς διαιρέτες τους αριθμούς 2,3,4,5 και 6.
Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι:
Ε.Κ.Π.= 22*3*5 = 60 --> Ε.Κ.Π.= 4*3*5 = 60
Άρα ο ζητούμενος αριθμός πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του 60 και να
διαιρείται από τον αριθμό 7. Αν πάρουμε τα πολλαπλάσια του 60 με τη
σειρά θα έχουμε:
60,120,180,240,300,360,420,480,540,600,660,720,780,840, κλπ.
Εάν προσθέσουμε στους ανωτέρω αριθμούς το υπόλοιπο της διαιρέσεως,
που είναι η μονάδα, δηλαδή,
61,121,181,241,301,361,421,481,541,601,661,721,781,841, θα δούμε
ότι οι μόνοι αριθμοί που πληρούν τη συνθήκη,δηλαδή να διαιρούνται
με το 7 χωρίς ν’ αφήνουν υπόλοιπο, είναι: ο 301 και ο 721.Ο πρώτος
αποκλείεται λόγω του ότι τ’ αυγά ήταν περισσότερα από 700, όπως
αναφέρεται στην εκφώνηση του προβλήματος. Άρα ο ζητούμενος αριθμός
είναι ο δεύτερος που πληρεί τους όρους της συνθήκης.
Β) Περισσότερα από 200 και λιγότερα από 400.
Είχε 301 αυγά. Ο αριθμός των αυγών πρέπει να είναι κατά μία μονάδα
μεγαλύτερος από έναν αριθμό που έχει κοινούς διαιρέτες τους αριθμούς
2,3,4,5 και 6. Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι
το: Ε.Κ.Π.= 22*3*5 = 60 --> Ε.Κ.Π.= 4*3*5 = 60
Άρα ο ζητούμενος αριθμός πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του 60 και να
διαιρείται από τον αριθμό 7. Αν πάρουμε τα πολλαπλάσια του 60 με τη
σειρά θα έχουμε: 60,120,180,240,300,360,420, κλπ. Εάν προσθέσουμε
στους ανωτέρω αριθμούς το υπόλοιπο της διαιρέσεως, που είναι η μονάδα,
δηλαδή, 61,121,181, 241,301,361, 421, θα δούμε ότι ο μόνος αριθμός που
πληρεί τη συνθήκη, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, δηλαδή να
διαιρείται με το 7 χωρίς ν’ αφήνει υπόλοιπο, είναι ο αριθμός 301.

Οι Συνδυασμοί

Με τους αριθμούς 1, 2, 3 και 4 μπορούμε να σχηματίσουμε τους αριθμούς 1234 ή 4321, αλλά και αρκετούς άλλους. Πόσους αριθμούς συνολικά μπορούμε να σχηματίσουμε χρησιμοποιώντας τους ανωτέρω τέσσερις αριθμούς;(Κατ.5/Πρβ. Νο.3)

Λύση

Σχηματίζουν συνολικά 24 διαφορετικούς αριθμούς που προκύπτουν από τη
σχέση:
ν! = 1*2*3*4*…*n, όπου ν = το πλήθος των όρων της σειράς και
ν! = το παραγοντικό σύμβολο. 4!=1 x 2 x 3 x 4 = 24.