Το Καθρεπτιζόμενο Ρολόι

Ο Κώστας ετοιμάζεται για να πάει στο σχολείο. Καθώς ντιυόταν κοιτάζει βιαστικά από τον καθρέφτη του δωματίου του το ρολόι που βρισκόταν στο χωλ και βλέπει μια ώρα που δεν μπορεί να ήταν σωστή, οπότε υπέθεσε λανθασμένα πως το ρολόι ήταν σταματημένο. Ανεβαίνει στο ποδήλατό του και μετά από 20 λεπτά ακριβώς φτάνει στο σχολείο του. Το ρολόι του σχολείο έδειχνε δύο ώρες και τριάντα λεπτά μετά από την ώρα που είδε στον καθρέφτη του σπιτιού του. Τι ώρα έφτασε στο σχολείο; 

Πηγή:http://dimitris-ver.blogspot.com/2013/06/blog-post_101.html

Λύση

Το ρολόι του σχολείου είχε διαφορά 2:30 - 20' = 2 ώρες και 10 λεπτά από το ρολόι του σπιτιού του. Επειδή και τα δύο ρολόγια έδειχναν τη σωστή ώρα πρέπει να βρούμε την ώρα εκείνη της οποίας η κατοπτρική της, δηλαδή η συμμετρική της ως προς τον κάθετο άξονα, θα διαφέρει κατά 2 ώρες και 10 λεπτά. Το μόνο ζευγάρι ωρών που πληροί αυτές τις προϋποθέσεις είναι οι ώρες 4:55 και 7:05. Τα ζευγάρια 10:55 - 1:05 και 11:25 - 1:35 δεν δίνουν ρεαλιστικές ώρες σχολείου. Το δεύτερο μάλιστα έχει και το πρόβλημα που παρουσιάζεται στη συνέχεια. Το ζευγάρι 5:25 - 7:35 δεν είναι κατοπτρικό γιατί οι ωροδείκτες δεν βρίσκονται ακριβώς πάνω στο 5 και στο 7, με αποτέλεσμα τα σωστά ζευγάρια να είναι 4:25 - 7:35 ή 5:25 - 6:35 τα οποίο δεν απέχουν μεταξύ τους κατά 2 ώρες και 10 λεπτά. Έτσι η μόνη ρεαλιστική λύση είναι να έφτασε στο σχολείο στις 7:05 + 20' = 7:25.

Τα Τσουρέκια

Για να μαζέψει λίγα χρήματα ένας σύλλογος αποφάσισε να πουλήσει το Πάσχα τσουρέκια.  Για το σκοπό αυτό αγοράζει 100 τσουρέκια προς 3€ το κάθε ένα και τα μεταπωλεί σε πακέτα που περιέχουν ένα , δύο ή τρία  τσουρέκια με τιμή 5€, 9€ και 13€ αντίστοιχα. Γνωρίζοντας ότι πούλησε όλα τα τσουρέκια σε 67 πακέτα, μπορείτε να βρείτε το κέρδος αυτής της πώλησης;
Πηγή:http://dimitris-ver.blogspot.com/2013/05/blog-post_5423.html
Λύση

Το κέρδος από την πώληση των τσουρεκιών ανήλθε σε 167€. Έστω τα πακέτα ότι είναι Α, Β και Γ στο πλήθος και περιέχουν αντίστοιχα 1, 2 και 3 τσουρέκια. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
Α+Β+Γ=67 (πακέτα) (1)
Α+2Β+3Γ=100 (βασιλόπιτες) (2)
Αφαιρώντας την ισότητα (1) από την ισότητα (2) έχουμε:
Α+2Β+3Γ=100
-Α-Β-Γ= -67
Β+2Γ = 33 ---> 2Γ = 33-Β ----> Γ =(33-B)/2 (3)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Αυτή η ισότητα επιδέχεται 16 λύσεις: (Β=1, Γ=16), (Β=3, Γ=15), (Β=5, Γ=14), ..., (Β=29, Γ=2), (Β=31, Γ=1). Εφ’ όσον ο σύλλογος μάζεψε λίγα χρήματα, διαλέγουμε τη σχέση (Β=1), οπότε έχουμε:
Γ =(33-B)/2 ----> Γ = (33-1)/2 ----> Γ =32/2 ----> Γ = 16 (4)
Αντικαθιστούμε τις τιμές «Β» και «Γ» στην (1) κι’ έχουμε:
Α+Β+Γ=67 ----> Α+1+16=67 ----> Α = 67-17 ----> Α = 50
Κέρδος:
[[(5Α+9Β+13Γ )]-100*3] = [[(5*50)+(9*1)+(13*16)]-300] =250+9+208-300=467-300= 167€.

Ο Μετεωρολόγος

Ένας μετεωρολόγος μετράει κάθε μέρα και επί πέντε μέρες τη θερμοκρασία σε
βαθμούς Κελσίου κάποιου σημείου μιας πόλης και βρίσκει 5 διαφορετικές
θερμοκρασίες, στρογγυλοποιημένες σε ακέραιους αριθμούς. Παρατηρεί επίσης
ότι το γινόμενο αυτών των 5 διαφορετικών θερμοκρασιών είναι ο αριθμός 12.
Ποιες θερμοκρασίες μέτρησε; 

Πηγή:http://dimitris-ver.blogspot.com/2013/05/blog-post_4080.html

Λύση

Μέτρησε τις θερμοκρασίες: -2, -1, 1, 2, 3 βαθμών Κελσίου, όχι απαραίτητα με αυτή τη σειρά. (-2)*(-1)*1*2*3=2*1*2*3=12.

Τα Κέρματα

Κάποιος δαπάνησε το 1/3 των κερμάτων του για αγορές, κατέθεσε τα 2/3 του υπολοίπου των κερμάτων στην τράπεζα, και του έμειναν υπόλοιπο 12 κέρματα. Πόσα κέρματα είχε στην αρχή;

Διευκρίνιση:

Όλα τα κέρματα ήταν αξίας 1€

Από το βιβλίο του Γάλλου μαθηματικού Nicholas Chuquet (1448-1500) με 
τίτλο:«Triparty en la Science des Nombres – Τριμερή στην Επιστήμη 
των Αριθμών»

Λύση

Στην αρχή είχε 54 κέρματα του 1€. Έστω «x» τα κέρματα που είχε στην αρχή. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
x-x/3 (1)
Του έμειναν υπόλοιπο:
x-x/3 ----> (3x-x)/3 ----> 2x/3 κέρματα (2)
Από αυτά, κατέθεσε στη τράπεζα τα 2/3 και του έμειναν 12 κέρματα, οπότε έχουμε την εξίσωση:
2x/3-(2/3)*(2χ/3)=12 (3)
2x/3-(2/3)*(2χ/3)=12 ----> 2x/3-(4x/9)=12 ----> 3*2x-4x=12*9 ----> 6x-4x=108 ----> 2x=108 ----> x=108/2 ----> x=54 κέρματα (4)
Επαλήθευση:
χ/3=54/3=18 κέρματα, που αντιπροσωπεύουν το 1/3 των αρχικών κερμάτων.
2x/3=(2*54)/3=2*18=36 κέρματα που αντιπροσωπεύουν το 2/3 των αρχικών κερμάτων.
2x/3-(2/3)*(2χ/3)=12 ----> 2*54/3-(2/3)*(2*54)/3=12 ----> 2*18-(2/3)*(2*18)=12 -----> 36-(2*2*18)/3=12 ----> 36-(4*6)=12 -----> 36-24=12

Οι Λίρες

Δύο Άραβες που ταξίδευαν στην έρημο είχαν μαζί τους : ο ένας 3 πίτες και ο άλλος 5 πίτες. Στο δρόμο συνάντησαν έναν πλούσιο αλλά πεινασμένο ταξιδιώτη. Μοίρασαν λοιπόν τις 8 πίτες σε τρία ίσα μέρη και τις έφαγαν. Ο πλούσιος φεύγοντας, άφησε 8 λίρες για να πληρώσει τη μερίδα του. Να βρείτε πόσες από τις λίρες πρέπει να πάρει καθένας από τους δύο Άραβες.
Πηγή:perisan's blog » Blog Archive » Τρεις Άραβες μοιράζονται 8 πίτες

Λύση

Η κάθε πίτα χωρίζεται σε τρία ίσα μέρη. Έτσι, τα 24 κομμάτια που προκύπτουν μοιράζονται σε τρία ίσα μέρη και τρώει 8 κομμάτια ο καθένας. Ο πρώτος Άραβας είχε 3 πίτες άρα 9 κομμάτια, από τα οποία έδωσε στον ταξιδιώτη 1 κομμάτι αξία μιας λίρας, ενώ τα υπόλοιπα 8 κομμάτια τα έφαγε αυτός. Ο δεύτερος Άραβας είχε 5 πίτες, άρα 15 κομμάτια, από τα οποία έδωσε στον ταξιδιώτη 7 κομμάτια αξίας 7λιρών (7*1), ενώ τα υπόλοιπα 8 κομμάτια τα έφαγε αυτός. Έτσι ο πρώτος Άραβας δικαιούται να πάρει 1 λίρα, ενώ ο δεύτερος 7 λίρες, από τις 8 λίρες που τους έδωσε ο πλούσιος ταξιδιώτης.

Οι Απουσίες

Ο Ανδρέας τελειώνει μια εργασία σε 15 ημέρες. Ο Βασίλης την ίδια εργασία την τελειώνει σε 20 ημέρες. Συμφώνησαν να εργαστούν μαζί για να τελειώσουν αυτή την εργασία. Εάν ο Βασίλης απουσίασε μια ημέρα παραπάνω  από τον Ανδρέα και η εργασία τελείωσε σε 11 ημέρες, να βρείτε πόσες ημέρες απουσίασε ο Ανδρέας και πόσες ημέρες απουσίασε ο Βασίλης.

Λύση

Ο Ανδρέας απουσίασε 2 ημέρες και ο Βασίλης απουσίασε 3 ημέρες Ο Ανδρέας σε μία ημέρα τελειώνει το 1/15 του έργου και ο Βασίλης το 1/20 του έργου, και οι δύο μαζί τελειώνουν τα:
(1/15)+(1/20)=(4/60)+(3/60)=7/60 του έργου
Εάν εργάζονταν και τις 11 ημέρες θα τελείωναν τα:
11*(7/60)=77/60 του έργου
Τις ημέρες που δεν εργάστηκαν μαζί θα τελείωναν τα:
(11-1+7)/60=(10+7)/60=17/60 του έργου
Εάν ο Ανδρέας απουσίασε x ημέρες, τότε ο Βασίλης απουσίασε (x+1) ημέρες. Βάσει των ανωτέρω δεδομένων έχουμε την εξίσωση:
(x/15)+(x+1)/20=17/60 ----> [4x+3*(x+1)]/60=17/60 ---->
4x+3x+3=17 ----> 7x+3=17 ----> 7x=17-3 ----> 7x=14 ----> x=14/7 ----->
x=2
Επαλήθευση:
[4x+3*(x+1)]/60=17/60 ----> [4*2+3*(2+1)]/60=17/60 ----> (4*2+3*3)/60=(8+9)/60=17/60

Το Εμβαδόν

Το ανωτέρω σχήμα αποτελείται από τρία τετράγωνα. Το πιο μικρό έχει περίμετρο 20 εκ. και το μεγάλο έχει περίμετρο 60 εκ. Πόσο είναι το εμβαδόν ​όλου ​του ​σχήματος ​που ​βλέπετε;
Πηγή:Τα θέματα και οι απαντήσεις του 1ου Μαθηματικού Διαγωνισμού «ΚΩΣΤΑΣ ΖΕΡΒΟΣ» 2017 (Α΄ Γυμνασίου)

Λύση

Το εμβαδον του σχήματος είναι 350εκ.^2. Η πλευρά του τετραγώνου «Α» είναι 5εκ., του τετραγώνου «Β» είναι 10εκ. και του τετραγώνου «Γ» είναι 15εκ. Η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι τετραπλάσια της πλευράς του (Π=4α). Επομένως, η πλευρά του τετραγώνου Α είναι 5 εκ.(Π=4*5), του Β είναι. 15-5 εκ. = 10εκ. (Π=4*10) και του Γ είναι 15εκ.(Π=4*15).
Υπολογίζουμε τα 3 εμβαδά (Ε=α2):
Α: 25 τετρ. εκ.(Ε=5^2)
Β: 100 τετρ. εκ. (Ε=10^2)
Γ: 225 τετρ. εκ. (Ε=15^2)
ΣΥΝΟΛΟ: Ε=225 + 100 + 25 = 350 τετρ. εκ.