Rebus No. 234 (5)

Λύση

Άχυρο [Αχυ(Αχη*)ρο(Ρω**)] *Η περιοχή Αχή Τσελεμπή είναι στα βόρεια του νομού Ξάνθης στο Βουλγαρικό έδαφος σήμερα. **Η “κυρά της Ρω”=Δέσποινα Αχλαδιώτου.

Οι Αριθμοί

Από το 1 έως το 100 υπάρχουν τρεις αριθμοί, οι οποίοι όταν υψωθούν στο τετράγωνο, ο καθ΄ένας, δίνουν ως αποτέλεσμα ένα παλινδρομικό ή καρκινικό αριθμό, εκ των οποίων μόνο ο ένας αριθμός εάν αντικατασταθούν τα ψηφία του με τα αντίστοιχα γράμματα της αλφαβήτου δίνει ένα παλινδρομικό ή καρκινικό όνομα. 
Να δοθούν οι εξής απαντήσεις:
α)Ποιοι είναι  αυτοί οι αριθμοί;
β)Ποιος αριθμός δίνει το παλινδρομικό όνομα;
γ)Ποιο είναι τ΄όνομα αυτό; (Κατ.34/Νο.741)

Λύση

α)Οι αριθμοί είναι οι: 112=121 222=484 262=676 β)Ο αριθμός που δίνει το παλινδρομικό όνομα είναι: Ο 121 γ) Τ’ όνομα που παράγεται από τα γράμματα της αλφαβήτου είναι: 121 ---> 1=Α, 2=Β, και 2=Α ---> ΑΒΑ Α)Άβα Λαβίνια Γκάρντνερ=Ηθοποιός. Β)Αβα=AVA=Υγρό σαπούνι για τα πιάτα. Στη Μυθολογία: Γ)Η Άβα φέρεται επίσης προμάμμη των Αβάντων. Δ)Στην ελληνική μυθολογία η Άβα ήταν μία Νύμφη που κατά την παράδοση γέννησε τον ήρωα Έργισκο από μία ερωτική σχέση της με τον θεό της θάλασσας Ποσειδώνα. Από τ’ όνομα του γιου της πήρε το όνομά η πόλη Εργίσκη της Θράκης, που είναι η σημερινή Τσατάλτζα (Μέτρες) της Τουρκίας.

Η Συνάντηση

Ένας λαγός τρέχει με 100 βήματα μπροστά από ένα σκύλο. Ο σκύλος τον καταδιώκει για 250 βήματα, τότε οι δυό τους απέχουν μόλις 30 βήματα. Σε πόσα βήματα θα έφτανε ο σκύλος το λαγό; (Κατ.6/Νο.12)

Σημείωση:

Αρχαίο Κινέζικο Πρόβλημα. Από την «Κλασσική Αριθμητική του Suan-Ching», τ’ οποίο περιλαμβάνει 92 προβλήματα, του Κινέζου μαθηματικού Quijian Zhang (430-490), γνωστός ως (Sun Tsu Suan Ching ή Chang Ch’ui - Chin ή Chang  Ch’ui - .chien), που δημοσιεύθηκε το 468μ.Χ.,

Λύση

Λύση του Ν. Λιλιμπάκη. Ο σκύλος και ο λαγός θα συναντηθούν σε 50 βήματα. Ο σκύλος θα φτάσει το λαγό αφού η ταχύτητά του είναι μεγαλύτερη (250 > 100). Έστω «Σ» ο σκύλος, «Λ» ο λαγός και «ΣΑ» το σημείο συνάντησης που απέχει από το λαγό απόσταση «χ» βήματα (το βήμα είναι μονάδα μήκους). Η ταχύτητα του σκύλου είναι 250 μονάδες ενώ του λαγού 100 μονάδες (βήματα ανα μονάδα χρόνου). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: (ΛΑ) = (ταχύτητα λαγού)*(χρόνος t για να φθάσει στο Α) (1) (ΣΑ) = (ΣΛΑ) +(ΛΑ) (2) (ΣΑ) = (ταχύτητα σκύλου)*(χρόνος t για να φθάσει στο Α) (3) Από την (1) συνάγουμε ότι: (ΛΑ) = (ταχύτητα λαγού)*(χρόνος t για να φθάσει στο Α) ---> (ΛΑ)=100*t (4) Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε: (ΣΑ) = (ΣΛΑ) +(ΛΑ) ---> (ΣΑ)=30+100*t (5) Από τη (3) συνάγουμε ότι: (ΣΑ) = (ταχύτητα σκύλου)*(χρόνος t για να φθάσει στο Α) ---> (ΣΑ)=250*t (6) Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε: (ΣΑ)=30+100*t ---> 250*t=30+100*t ---> 250*t-100*t=30 --->150*t=30 ---> t=30/150 ---> t=0.2 μονάδες χρόνου (7) Αντικαθιστούμε την (7) στις (4) (5) και (6) κι’ έχουμε: (ΛΑ)=100*t ---> (ΛΑ)=100*0,2 ---> (ΛΑ)=20 βήματα (8) (ΣΑ)=30+100*t ---> (ΣΑ)=30+100*0,2 ---> (ΣΑ)=30+20=50 βήματα (9) (ΣΑ)=250*t ---> (ΣΑ)=250*0,2 ---> (ΣΑ)=50 βήματα (10) Λύση του Ε. Αλεξίου. Κάρλο επειδή αυτό είναι πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής (δημοτικό) θα το λύσω με εργαλείο την πρακτική αριθμητική και για να μην μείνει άγραφη η σελίδα αλλά και γιατί μπορεί να διαβάζουν Διασκεδαστικά Μαθηματικά μαθητές Δημοτικού! Πρόκειται για κλασικό πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής που επιλύεται με την απλή μέθοδο των τριών, τη μέθοδο δηλαδή, όπου από τις τρεις γνωστές τιμές βρίσκουμε την τέταρτη. Με βάση τα βήματα (ταχύτητα) του λαγού. Όταν ο λαγός κάνει 100 βήματα ο σκύλος κάνει 250 βήματα, άρα πλησιάζει τον λαγό κατά 150 βήματα, οπότε λέμε: Κατάταξη: Στα 100 βήματα λαγού, ο σκύλος πλησιάζει κατά 150 βήματα Σε πόσα (X;) βήματα λαγού ο σκύλος θα πλησιάσει κατά 30 βήματα; X=100×30/150=20 βήματα Ή με βάση τα βήματα (ταχύτητα) του σκύλου. Όταν ο σκύλος κάνει 250 βήματα ο λαγός κάνει 100 βήματα, άρα πλησιάζει τον λαγό κατά 150 βήματα, οπότε λέμε: Κατάταξη: Στα 250 βήματα του σκύλου, ο σκύλος πλησιάζει κατά 150 βήματα Σε πόσα (X;) βήματα σκύλου, ο σκύλος θα πλησιάσει κατά 30 βήματα; X=250×30/150=50 βήματα

Rebus No.233 (5)

Λύση

Οχυρό [Οχυ(ΟΧΙ =Επέτειος του ΟΧΙ)ρο(Ρω= Νήσος Ρω ή Ρώγη ή Ροπή)]

Η Ταινία

Στην μακρινή χώρα της Φτηνολάνδης, η τιμή εισόδου σε έναν  κινηματογράφο καθορίζεται από την ηλικία και την ιδιότητα του θεατή. Το παιδικό εισιτήριο κοστίζει μισό ευρώ, το  φοιτητικό εισιτήριο κοστίζει δυο  ευρώ, ενώ το κανονικό εισιτήριο  κοστίζει τρία ευρώ. Γνωρίζουμε ότι την ταινία   “Χ”  την παρακολούθησαν  30 θεατές  και οι συνολικές εισπράξεις ήταν 30 ευρώ . Ο κ. Παπαδόπουλος  που παρακολούθησε την ταινία μαζί με το γιο του, που είναι φοιτητής στο πολυτεχνείο και την κόρη του που πηγαίνει στην 1η δημοτικού,  δήλωσε ότι δεν έχει δει χειρότερη ταινία στην ζωή του. Πόσοι ήταν φοιτητές, πόσα ήταν τα  παιδιά και πόσοι ήταν οι ενήλικοι θεατές; (Κατ.34/Νο.740)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/06/blog-post_337.html

Λύση

Λύση του Papaveri. Οι φοιτητές ήταν 5, τα παιδιά 22 και οι ενηλικες θεατές 3. Έστω «Π» ο αριθμός των παιδιών, «Φ» ο αριθμός των φοιτητών και «Υ» ο αριθμός των υπόλοιπων θεατών. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: Π+Φ+Υ=30 (1) 1/2Π+2Φ+3Υ=30 (2) Λύνουμε ως προς «Π» την (1) κι’ έχουμε: Π+Φ+Υ=30 ---> Π=30-Φ-Υ (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: 1/2Π+2Φ+3Υ=30 ---> 1/2*(30-Φ-Υ)+2Φ+3Υ=30 ---> 30-Φ-Υ+4Φ+6Υ=60 ---> 3Φ+5Υ=60-30 ---> 5Υ=30-3Φ ---> Υ=(30-3Φ)/5 ---> Υ=[3*(10-Φ)]/5 (4) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε τη διερεύνηση των ριζών. Ο αριθμός «Υ» των υπόλοιπων θεατών είναι ακέραιος αριθμός και κατά συνέπεια ο παράγοντας (10-Φ) είναι πολλαπλάσιο του αριθμού 5. Οι ακέραιες τιμές του «Φ», για τις οποίες ο αριθμός «Υ» είναι πολλαπλάσιο του 5 είναι οι 0, 5, και 10. Για Φ=0, απορρίπτεται, γιατί από την οικογένεια του κ. Παπαδόπουλου γνωρίζουμε ότι την ταινία τη παρακολούθησαν τουλάχιστον ένας θεατής από κάθε κατηγορία (Π διάφορο του 0, Φ διάφορο το0 και Υ διάφορο το 0). Για Φ=5 έχουμε: Υ=[3*(10-Φ)]/5 ---> Υ=[3*(10-5)]/5 ---> Υ=3*5/5 ---> Υ=3*1 ---> Υ=3 (5) Για Φ=10 έχουμε Υ=[3*(10-Φ)]/5 ---> Υ=[3*(10-10)]/5 ---> Υ=3*0/5 ---> Υ=3*0 ---> Υ=0 Απορρίπτεται λόγω του ότι (Π διάφορο του 0, Φ διάφορο το0 και Υ διάφορο το 0). Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε: Π=30-Φ-Υ ---> Π=30-5-3 ---> Π=22 Τη ταινία την παρακολούθησαν 22 παιδιά, 5 φοιτητές και 3 ενήλικοι υπόλοιποι θεατές. Επαλήθευση: Π+Φ+Υ=30 ---> 22+5+3=30 1/2Π+2Φ+3Υ=30 ---> 1/2*22+2*5+3*3=30 ---> 11+10+9=30 ο.ε.δ. Λύση του Ε. Αλεξίου. 0,5x+2y+3(30-x-y) ---> 0,5x+2y+90-3x-3y=30 ---> 2,5x+y=60 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με τον αριθμό 2 κι’ έχουμε: 2,5x+y=60 ---> 2*2,5x+2y=2*60 --->5x+2y=120 ---> 2y=120-5x ---> y=60-5x/2=5(12-x/2). Θέτω χ=2n ---> y=5(12-n), n=1,2,3,... (1) Επειδή z μεγαλύτερο ή ίσο με 1 ---> x+y μικρότερο του 30 --->5x μικρότερο του 150-5y --> 120-2y μικρότερο του 150-5y ---> 3y μικρότερο του 30 ---> y μικρότερο του 10 και σε συνδυασμό με την (1) ---> n=11. Συνεπώς x=2*11=22, y=5 και z=3 (22*0.5+5*2+3*3=30) Λύση του Βασίλη. Έστω x, y, z τα πλήθη των παιδιών, των φοιτητών και των ενηλίκων θεατών αντίστοιχα. Οι x, y, z είναι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι του 28, εφόσον έχουμε τουλάχιστον έναν θεατή από κάθε κατηγορία. Ισχύουν επίσης: x+y+z=30 (1) 0,5x+2y+3z=30 (2) Πολλαπλασιάζουμε την (2) επί δύο και έχουμε: 2x(2)=>x+4y+6z=60 (3) Αφαιρούμε την (1) από την (3) και έχουμε: (3)-(1)---> 3y+5z=30 ή y=(30-5z)/3 (4) Ο y είναι είναι ακέραιος, άρα πρέπει και ο (30-5z)/3 να είναι ακέραιος, δηλαδή πρέπει η παράσταση Α=30-5z να είναι πολλαπλάσια του 3. Αυτό ισχύει για z=3 μόνο. Τότε είναι, λόγω της (4): y=5 και λόγω της (1): x=22. Επομένως στους θεατές είχαμε 22 παιδιά, 5 φοιτητές και 3 ενήλικες θεατές. Πιθανότατα η ταινία ήταν παιδική, για αυτό και δεν άρεσε στον κ. Παπαδόπουλο.

Ο Δολοφόνος

Τέσσερις ύποπτοι συνελήφθησαν για ένα φόνο. Κατά την διάρκεια της ανάκρισης από τον επιθεωρητή Clouseau, διαπιστώθηκε ότι:

-Ένας από τους τέσσερις διέπραξε το φόνο.

-Μόνο ένας από τους τέσσερις  είπε την αλήθεια .

Οι δηλώσεις των τεσσάρων ύποπτων ήταν οι εξής: 

Αντώνης: "Ο Βασίλης το έκανε." 

Βασίλης:"Ο Δημήτρης το έκανε." 

Γιάννης:"Δεν το έκανα εγώ." 

Δημήτρης:"Ο Βασίλης  λέει ψέματα."

Ποιος είναι ο δολοφόνος; (Κατ.27/Νο.417)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/06/blog-post_10.html
Λύση

Λύση του Βασίλη. Αφού μόνο ένας από τους τέσσερις είπε την αλήθεια έχουμε διαδοχικά: α)Αν ο Αντώνης είπε την αλήθεια, τότε ο Βασίλης το έκανε. Πρέπει όμως όλες οι άλλες δηλώσεις να είναι ψευδείς, άρα και αυτή του Γιάννη, άρα και ο Γιάννη διέπραξε το φόνο, άτοπο β)Αν ο Βασίλης λέει την αλήθεια, τότε καταλήγουμε στο παραπάνω άτοπο. Επίσης δε γίνεται να ευσταθεί και η δήλωση του Αντώνη, καθώς πρέπει να είναι ψευδής και άρα ο Βασίλης να είναι αθώος. γ)Αν ο Γιάννης είπε την αλήθεια, τότε δεν διέπραξε αυτός τον φόνο και η δήλωση του Αντώνη είναι ψευδής, άρα ούτε ο Βασίλης είναι ο ένοχος. Επίσης και η δήλωση του Βασίλη είναι ψευδής, άρα ούτε ο Δημήτρης είναι ένοχος. Όμοια είναι ψευδής και η δήλωση του Δημήτρη, οπότε ο Βασίλης λέει αλήθεια και πέφτουμε σε άτοπο. δ)Αν ο Δημήτρης είπε την αλήθεια, τότε ο Βασίλης λέει ψέματα (αληθεύει λόγω της υπόθεσης) και ο Αντώνης λέει ψέματα όμως, άρα ο Βασίλης είναι αθώος. Επίσης και ο Γιάννης λέει ψέματα, άρα αυτός είναι ο ένοχος. Συνεπώς ο ένοχος είναι ο Γιάννης Λύση του Ε. Αλεξίου. -Αντώνης: "Ο Βασίλης το έκανε." Έστω ότι λέει αλήθεια, όμως και ο Γιάννης: "Δεν το έκανα εγώ." λέει αλήθεια, άτοπο αλλά δεν έχουμε τον ένοχο. -Βασίλης:"Ο Δημήτρης το έκανε." Έστω ότι λέει αλήθεια, όμως και ο Γιάννης: "Δεν το έκανα εγώ." λέει αλήθεια, άτοπο αλλά δεν έχουμε τον ένοχο. -Γιάννης:"Δεν το έκανα εγώ." Έστω ότι λέει αλήθεια, συνεπώς οι άλλοι τρείς πρέπει να ψεύδονται, όμως ο Δημήτρης: "Ο Βασίλης λέει ψέματα." λέει αλήθεια, άτοπο, άρα ο Γιάννης λέει ψέμματα και έχουμε τον ένοχο, αυτός είναι ο ένοχος! Και αφού “-Ένας από τους τέσσερις διέπραξε το φόνο.” δεν χρειάζεται να ελεγχθεί η πρόταση του Δημήτρη. Λύση του Papaveri. Ο Γιάννης. Εάν ο Γιάννης ήταν ο αθώος , τότε η δήλωση του θα ήταν αληθής και οι άλλοι τρεις ύποπτοι ψεύδονται. Αυτό όμως σημαίνει ότι ο Δημήτρης λέει αλήθεια. Άτοπο (μόνο ένας από τους 4 λέει αλήθεια.). Άρα ο Γιάννης δεν μπορεί να είναι αθώος , οπότε είναι ο δολοφόνος.

Το Αξιοπερίεργο

1)Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε ν’ ανακατέψουμε τα φύλλα μιάς τράπουλας; 

2)Ποιός είναι μεγαλύτερος αριθμός, αυτός των διαφορετικών τρόπων ανακατέματος της τράπουλας ή η μέγιστη εκτίμηση της ηλικίας του Σύμπαντος σε δευτερόλεπτα; (Κατ.5/Νο.95)

Λύση

Ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών τρόπων που μπορούμε να την ανακατέψουμε είναι 52! = ≈ 8,0658175170943878571660636856404*1067 = ≈ 8,06582*10^67 Οι επιστήμονες εικάζουν ότι η ηλικία του σύμπαντος είναι ανάμεσα στα 10 και 16 δισεκατομμύρια χρόνια (16,000,000,000) Ας πάρουμε την μεγαλύτερη τιμή 16,000,000,000 =16*10^9 χρόνια και ας το μετατρέψουμε σε δευτερόλεπτα Έχουμε: -60 δευτερόλεπτα σε ένα λεπτό. -60 λεπτά σε μια ώρα . -24 ώρες σε μια ημέρα . -365 ημέρες σε ένα χρόνο ( 366 ημέρες στο δίσεκτο έτος). Άρα η μεγίστη εκτίμηση της ηλικίας του σύμπαντος σε δευτερόλεπτα είναι: 60 x 60 x 24 x 366 x 16,000,000,000 = 505.958.400.000.000.000 = ≈ 5,1*10^17 δευτερόλεπτα Παρατηρούμε ότι: 8,06582*10^67 > 5,1*10^17 Άρα είναι σαφές ότι υπάρχουν περισσότεροι τρόποι να ανακατευτεί μια τράπουλα από ό,τι η ηλικία του σύμπαντος σε δευτερόλεπτα.