Οι Δείκτες του Ρολογιού

Όπως βλέπετε στην ανωτέρω εικόνα ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης του ρολογιού βρίσκονται ο ένας επάνω στον άλλο στην ένδειξη 12. Ποια ώρα θα ξανασυναντηθούν και πόσες φορές θα συμβεί αυτό μέσα σε διάστημα δώδεκα ωρών; (Κατ.34/386)

Λύση

Θα συναντηθούν εκ νέου στις 1: 5΄: 27΄΄ και (3/11) του δευτερολέπτου Οι δείκτες θα συναντιθούν 11 φορές. Ξεκινώντας π.χ. από την 00:00:00 πμ, θα συναντηθούν στις παρακάτω ώρες, (βλέπε ανωτέρω πίνακα αναλυτικά.):
1:05, 2:10, 3:16, 4:21, 5:27, 6:32, 7:38, 8:43, 9:49, 10:54 και 12:00:00. Γνωρίζουμε ότι ο λεπτοδείκτης σε μια ώρα διανύει 60 διαιρέσεις της ώρας ή 60 λεπτά, ενώ αντιθέτως ο ωροδείκτης σε μια ώρα διανύει 5 διαιρέσεις της ώρας ή 5 λεπτά, π.χ. από το 2 θα πάει, σε μια ώρα, στο 3. Δηλαδή, σ’ ένα λεπτό ο ωροδείκτης θα διανύσει το (1/12) μιας διαιρέσεως του λεπτού [αφού (5/60)=(1/12)]. Έστω ότι η συνάντηση των δεικτών θα γίνει μετά από α ώρες. Κατά το χρονικό αυτό διάστημα ο λεπτοδείκτης θα διανύσει 60α διαιρέσεις (λεπτά), ο δε ωροδείκτης θα διανύσει 5α διαιρέσεις (λεπτά). Επειδή δε ο λεπτοδείκτης κατά τις α ώρες θα έχει διανύσει μια ολόκληρη περιφέρει ή 60 λεπτά, περισσότερο από τον ωροδείκτη, έχουμε την εξίσωση:
60α – 5α = 60 ---> 55α = 60 ----> α =(60/55) ---> α = 1και (1/11) ή 1 και (60/11)
Άρα η συνάντηση των δεικτών θα γίνεται κάθε:
(1/11) ---> (60/11) ---> 5΄ λεπτά και (5/11) του λεπτού.
(5/11) ---> (5*60)/11 ---> (300/11) ---> 27΄΄ λεπτά και (3/11) του δευτερολέπτου.
1 ώρα : 5΄ λεπτά και (5/11) του λεπτού : 27΄΄ λεπτά και (3/11) του δευτερολέπτου.
Ας συμβολίσουμε «Ω» τον ωροδείκτη και «Λ» τον λεπτοδείκτη. Στις 1:00 ο «Ω» προηγείται του «Λ» κατά (360/12) =30 μοίρες. Έστω ότι θα ταυτιστούν σε «α» δευτερόλεπτα μετά τις 1:00.
Ο «Λ» σε 60 λεπτά στρέφεται κατά 3600 άρα σε 1 δευτερόλεπτο (360/3.600) =(1/10) της μοίρας, οπότε σε «α» δευτερόλεπτα. γράφει (α/10) μοίρες.
Ο «Ω» –που είναι 12 φορές πιο αργός από τον «Λ» – στα «α» δευτερόλεπτα θα στραφεί κατά (α/120) μοίρες. Συνεπώς ισχύει :
(α/10)=30+(α/120) --->12α=(120*30)+α ---> 12α-α = 3.600 ---> 11α = 3.600 ----> α =(3.600/11) ----> α = 327,27 μοίρες.
Άρα οι δείκτες συμπίπτουν – για πρώτη φορά - μετά τις 00:00:00 πμ- στις 1:05΄:27΄΄ και (3/11) του δευτερολέπτου.