Ο Αριθμός

Να βρεθεί ένας τετραψήφιος θετικός ακέραιος 
αριθμός, τέτοιος ώστε αν τον «σπάσουμε» σε 
δυο διψήφιους αριθμούς, τους προσθέσουμε και 
τους υψώσουμε στο τετράγωνο, το αποτέλεσμα 
να ισούται με τον αρχικό αριθμό.

Λύση

Έστω «α^2» ο ζητούμενος αριθμός τότε ονομάζουμε «x» και «y» τους δύο διψήφιους που προκύπτουν από το σπάσιμο του. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος λαμβάνουμε τις σχέσεις:
(x+y)^2=α^2 (1)
x+y=α (2)
οπότε οι δυο διψήφιοι είναι ο «x», και ο (y=α-x).
α^2=100x+y ---> α^2=100x+α-x ---> α^2=99x+α ---> α^2-α=99x ---> x=α*(α-1)/99 (3)
Ο «x» είναι θετικός ακέραιος πολλαπλάσιο του 99. ∆ιακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Για α=99 ---> x=α*(α-1)/99 ---> x=99*(99-1)/99 ---> x=99-1 ---> x=98
Για α=99 ---> x+y=α ----> y = α-x ----> y=99-98 ---> y=1 ή 01
Άρα ο αριθμός σε αυτήν την περίπτωση είναι ο 9.801
Για α=45 ---> x=α*(α-1)/99 ---> x=45*(45-1)/99 ---> x=(45*44)/99 ---->
x= 1.980/99 ----> x=20
Για α=45 ---> x+y=α ----> y = α-x ----> y=45-20 ----> y=25
Άρα ο αριθμός σε αυτήν την περίπτωση είναι ο 2.025
Για α=55 ----> x=α*(α-1)/99 ---> x=55*(55-1)/99 ---> x=(55*44)/99 ---->
x= 2.970/99 ----> x=30
Για α=55 ---> x+y=α ----> y = α-x ----> y=55-30 ----> y=25
Άρα ο αριθμός σε αυτήν την περίπτωση είναι ο 3.025
Επαλήθευση:
(x+y)^2=α^2 ---> (98+01)^2=99^2 ---> 99^2=99^2=9.801
x+y=α ---> 98+01=99
(x+y)^2=α^2 ---> (20+25)^2=45^2 ---> 45^2=45^2=2.025
x+y=α ---> 20+25=45
(x+y)^2=α^2 ---> (30+25)^2=55^2 ---> 55^2=55^2=3.025
x+y=α ---> 30+25=55