Παρασκευή, 28 Απριλίου 2017

Σκαμνιά και Πολυθρόνες

Σ’ ένα δωμάτιο υπάρχουν μερικά σκαμνιά με τρία  πόδια και μερικές πολυθρόνες. με τέσσερα πόδια. Όταν σε κάθε σκαμνί και σε κάθε πολυθρόνα κάθεται ένας άνθρωπος, το συνολικό πλήθος των ποδιών στο δωμάτιο είναι 39. Πόσα σκαμνιά και πόσες πολυθρόνες υπάρχουν στο δωμάτιο; (Κατ.34)
Πηγή: Quantum:Μαθηματικοί Γρίφοι (Τόμος 1ος, πρβ.57, Σελ.42)

Λύση

Λύση του Voulagx
Έστω ότι υπάρχουν «χ» σκαμνιά και «ψ» πολυθρόνες, όπου (χ,ψ) φυσικοί αριθμοί. Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος θα έχουμε:
3χ+4ψ+2(χ+ψ)=39 --->2χ+4ψ+2χ+2ψ=39 ---> 5χ+6ψ=39 ---> 5χ=39-6ψ (1)
χ=(39-6ψ)/5 ---> χ=(40-1-6ψ)/5 ---> χ=40/5-(1+6ψ)/5 ---> χ=8-(1+ψ+5ψ)/5 ---> χ=8-5ψ/5-(1+ψ)/5 ---> χ=8-ψ-(1+ψ)/5 (2)
Πρέπει το (1+ψ) να είναι πολλαπλάσιο του 5, δηλ. 1+ψ=5κ (3)
Από την (1) έχουμε:
39-6ψ>0 ---> 39>6ψ ---> 39/6=6,5>ψ ---> 7,5>1+ψ=5κ ---> 7,5/5=1,5>κ
Άρα κ=1 (ο μόνος φυσικός μικρότερος του 1,5).
Oπότε η (3) γίνεται:
1+ψ=5 => ψ=4
Και αντικαθιστώντας τη τιμή του «ψ» στη (2) έχουμε:
χ=8-4-(1+4)/5=4-1=3 ---> χ=3
Στο δωμάτιο υπάρχουν 3 σκαμνιά και 4 πολυθρόνες. Τραπεζάκια για τους καφέδες δεν έχουμε για να μην μπλέξουμε τα πόδια.
Λύση του θεματοδότη
Στο δωμάτιο υπάρχουν 3 σκαμνιά και 4 πολυθρόνες. Έστω «Σ» τα σκαμνιά και «Π» οι πολυθρόνες. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
5Σ+6Π=39 (1)
(α) Σ = Σκαμνί και Άνθρωπος= 3+2=5 πόδια.
(β) Π = Πολυθρόνα και Άνθρωπος=4+2=6 πόδια.
5Σ+6Π=39 ---> 5Σ=39-6Π ---> Σ=(39-6Π)/5 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "Π" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "Σ" είναι ο αριθμός Π=4
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «Π» στη (2) κι’ έχουμε:
Σ=(39-6Π)/5 ---> Σ=(39-6*4)/5 ---> Σ=(39-24)/5 ---> Σ=15/5 ---> Σ=3
Επαλήθευση:
5Σ+6Π=39 ---> [(5*3)+(6*4)]=39 ---> 15+24=39  ο. ε. δ.

5 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Εστω οτι υπαρχουν χ σκαμνια και ψ πολυθρονες, οπου χ,ψ φυσικοι αριθμοι. Συμφωνα με τα δεδομενα του προβληματος θα εχουμε:

3χ+4ψ+2(χ+ψ)=39
5χ+6ψ=39
5χ=39-6ψ (1)
χ=(39-6ψ)/5
χ=(40-1-6ψ)/5
χ=40/5-(1+6ψ)/5
χ=8-(1+ψ+5ψ)/5
χ=8-5ψ/5-(1+ψ)/5
χ=8-ψ-(1+ψ)/5 (2)

Πρεπει το (1+ψ) να ειναι πολλαπλασιο του 5, δηλ. 1+ψ=5κ (3)
Απο την (1) εχουμε:39-6ψ>0 => 39>6ψ => 39/6=6,5>ψ =>
7,5>1+ψ=5κ => 7,5/5=1,5>κ , αρα κ=1 (ο μονος φυσικος μικροτερος του 1,5)
οποτε η (3) γινεται:
1+ψ=5 => ψ=4
και αντικαθιστωντας στην (2) εχουμε:
χ=8-4-(1+4)/5=4-1=3
Στο δωματιο υπαρχουν 3 σκαμνια και 4 πολυθρονες.
Τραπεζακια για τους καφεδες δεν εχουμε για να μην μπλεξουμε τα ποδια.
Voulagx




Papaveri είπε...

@Voulagx
Πολύ σωστά. Επειδή δεν μπορούμε να επικοινωνήσουμε διαφορετικά, σου γράφω εδώ τη θέλω.

Πυθαγόρειες Τριάδες
Ο Ευκλείδης (330-275; π.Χ.) έδωσε μια μέθοδο εύρεσης Πυθαγορείων τριάδων:
(a) Αν λ, μ είναι φυσικοί θετικοί άνισοι ακέραιοι αριθμοί και λ>μ τότε οι
x=λ^2-μ^2, y=2λμ, z= λ^2+μ^2 είναι μια Πυθαγόρεια τριάδα.
(b) Αν x, y, και z είναι Πυθαγόρεια τριάδα και κ είναι φυσικός αριθμός,
τότε οι κx, κy, κz αποτελούν επίσης Πυθαγόρεια τριάδα.
Αργότερα τον 3ο μ.Χ αιώνα, ο Διόφαντος απέδειξε ότι, από τις παραπάνω
προτάσεις του Ευκλείδη προκύπτουν όλες οι Πυθαγόρειες τριάδες, στηριζόμενος
σε μια ταυτότητα που την γνώριζε και ο Ευκλείδης έδωσε μια γενικότερη λύση του
προβλήματος κατασκευής Πυθαγορείων τριάδων από οποιουσδήποτε αριθμούς, άρτιους ή περιττούς. Ανακάλυψε ότι οι ανωτέρω αριθμοί σχηματίζουν Πυθαγόρεια τριάδα.
Έχω τις ταυτότητες του Πυθαγόρα και του Πλάτωνα, θα ήθελα και την ταυτότητα του
Διόφαντου μ' ένα παράδειγμα Πυθαγόρειας Τριάδας.
Την απάντηση γράψτην εδώ.
Εν αναμονή απαντήσεώς σου, σ' ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Ανώνυμος είπε...

Καρλο, απ΄ο,τι θυμαμαι, οι τυποι που δινεις για πυθαγορειες τριαδες:
x=λ^2-μ^2, y=2λμ, z= λ^2+μ^2
ειναι του Διοφαντου.
Μια αναζητηση στο Διαδικτυο επιβεβαιωσε οτι η μνημη μου δεν ειναι αρκουντως ασθενης.
Δες το λινκ:

http://telemath.gr/joomla/images/article_files/mypdf/Pythagorioi_arithmoi.pdf

στη σελιδα 3.
V

Ανώνυμος είπε...

Ξεχασα να παραθεσω ενα παραδειγμα με τους τυπους του Διοφαντου:
x=λ^2-μ^2, y=2λμ, z= λ^2+μ^2 οπου: λ>μ>0

Αν: λ=2 και μ=1 τοτε:
x=2^2-1^2=4-1=3
y=2*2*1=4
z=2^2+1^2=4+1=5
προκυπτει η μικροτερη βασικη πυθαγορεια τριαδα:(x,y,z)=(3,4,5)
3^2+4^2=5^2 <=> 9+16=25.
V












Papaveri είπε...

@Voulagx
Χριστός Ανέστη! Καλό Μήνα!!
Την ιστοσελίδα που μου έγραψες την γνώριζα, αλλά δεν μπορούσα να καταλάβω ο Διόφαντος σε ποιά ταυτότητα που την γνώριζε και ο Ευκλείδης στηρίχθηκε για να υπολογίσερι τις Πυθαγόρειες Τριάδες. Τελικά είναι αυτή που μου έγραψες. Επίσης βρήκα και μια ταυτότητα του Πρόκλου. Την εργασία που ήθελα την τελείωσα. Σ' ευχαριστώ. Περιμένω τη λύση του γρίφου "Οι Αριθμοί".

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes