Τετάρτη, 18 Ιανουαρίου 2017

Η Μηνιαία Δόση

Τρεις φίλοι αγόρασαν από μια μοτοσυκλέτα, Α (BMW), Β (Honda), και Γ (Yamaha). Ο πωλητής, για την εξόφληση των μοτοσυκλετών, ζήτησε από τον καθένα να του δώσει αρχικά μια προκαταβολή και στη συνέχεια να πληρώνει μια συγκεκριμένη δόση κάθε μήνα. Οι τρεις φίλοι έδωσαν το ίδιο ποσό χρημάτων για προκαταβολή και συμφώνησαν να πληρώνουν την ίδια μηνιαία δόση. Το ποσό της μηνιαίας δόσης είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 100€. Εάν το συνολικό κόστος των μοτοσικλετών είναι 3.000€ για την μοτοσυκλέτα Α, 3.315€ για την μοτοσυκλέτα Β, και 3.840€ για την μοτοσυκλέτα Γ, να υπολογίσετε το ποσό της μηνιαίας δόσης. (Κατ.34)
Πηγή:Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Λύση

Το ποσό της μηνιαίας δόσης ανέρχεται στα 105€. Έστω «α» το ποσό της προκαταβολής και «β» το ποσό της κοινής μηνιαίας δόσης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
(β/3.000)-α (1)
(β/3.315)-α (2)
(β/3.840)-α (3)
Από την πρώτη και τη δεύτερη σχέση προκύπτει:
β/3.315-3.000-α+α=315€ (α), η διαφορά κόστους των μοτοσικλετών «Α» και «Β».
Από την δεύτερη και τρίτη σχέση προκύπτει:
β/3.840-3.315-α+α=525 (β), η διαφορά κόστους των μοτοσικλετών «Β» και «Γ».
Από την (β) και (α) έχουμε:
525-315=210€ (γ), η διαφορά των δύο κοστών.
Από την (α) και (γ) έχουμε:
315-210=105€, η διαφορά των δύο κοστών.
Επειδή εξ’ ορισμού «...το ποσό της μηνιαίας δόσης είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 100€» ο μόνος θετικός διαιρέτης του 105 μεγαλύτερος του 100 είναι το 105, δεχόμαστε ως μηνιαία δόση το β=105€

4 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

105€

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Σωστή η απάντηση, έστω και λακωνική.

Ανώνυμος είπε...

Καρλο, η λυση σου μου φαινεται καπως μπερδεμενη, αν μου επιτρεπεις την καταθετω πιο αναλυτικα.
Έστω «α» το ποσό της προκαταβολής και «β» το ποσό της κοινής μηνιαίας δόσης και κ,λ,μ οι δοσεις των αγοραστων Α,Β,Γ αντιστοιχα. Τοτε:
3000-α=βκ (1)
3315-α=βλ (2)
3840-α=βμ (3)
Αφαιρουμε κατα μελη, κυκλικα, τις παραπανω εξισωσεις.
(3) - (1): 840=β(μ-κ)
(3) – (2): 525=β(μ-λ)
(2) – (1): 315=β(λ-κ)
Αναλυοντας τους αριθμους 840,525,315 σε γινομενα πρωτων παραγοντων:
840=2*2*2*5*3*7=8*105
525=5*5*3*7=5*105
315= 3*5*3*7=3*105
βρισκουμε οτι ο μονος κοινος διαιρετης αυτων, μεγαλυτερος του 100, ειναι ο αριθμος 105.
Αρα: β=105.

Voulagx

Papaveri είπε...

@Voulagx
Ναι, είναι κάπως μπερδεμένη. Έτσι τη βρήκα και την αντέγραψα, εφόσον την μελέτησα ως προς την ορθότητα της. Τελίκά συμφωνούμε στο ίδιο αποτέλεσμα. Εάν μπορείς διέδωσε την ιστοσελίδα μου διότι είναι καιρός τώρα που έχουν εξανισθεί όσοι την παρακολουθούσαν.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes