Πέμπτη, 7 Απριλίου 2016

Οι Τιμές

Οι αριθμοί 203 και 298 διαιρούμενοι με το θετικό ακέραιο «x» δίνουν και οι δυο υπόλοιπο 13. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του «x»; (Κατ.34)

Λύση

Οι δυνατές τιμές του «χ» είναι (χ=19) και (χ=95). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
203 = χ*κ +13 (1)
298 = χ*λ +13 (2)
Όπου κ, και λ θετικοί ακέραιοι..
Από την (1) συνάγουμε ότι:
203 = χ*κ +13 ---> χ*κ=203-13 ---> χ*κ=190 (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
298 = χ*λ +13 ---> χ*λ=298-13 ---> χ*λ=285 (4)
Επομένως ο χ είναι κοινός διαιρέτης των 190 και 285. Επειδή Μ.Κ.Δ.(190, 285) = 5,. 19 , οι δυνατές τιμές του χ είναι οι διαιρέτες του (190, 285), δηλαδή οι 1, 5, 19 και 95. Όμως, εξ υποθέσεως, πρέπει χ>13, οπότε τελικά θα είναι: χ =19 ή χ = 95.
Αντικαθιστούμε τις τιμές του «χ» 19 και 95 στη (3) κι’ έχουμε:
χ*κ=190 ---> 19*κ=190 ---> κ=190/19 ---> κ=10 (5)
χ*κ=190 ---> 95*κ=190 ---> κ=190/95 ---> κ=2 (6)
Αντικαθιστούμε τις τιμές του «χ» 19 και 95 στη (4) κι’ έχουμε:
χ*λ=285 ---> 19*λ=285 ---> λ=285/19 ---> λ=15 (7)
χ*λ=285 ---> 95*λ=285 ---> λ=285/95 ---> λ=3 (8)
Επαλήθευση:
203 = χ*κ +13 ---> 203=19*10+13 ---> 203=190+13
203 = χ*κ +13 ---> 203=95*2+13 ---> 203=190+13
298 = χ*λ +13 ---> 298=19*15+13 ---> 298=285+13
298 = χ*λ +13 ---> 298=95*3+13 ---> 298=285+13
Λύση του μαθηματικού Νίκου Λέντζου:
[Ταυτότητα της Ευκλείδειας: Δ=δ*π+υ με υ=0,1,2,...,(δ-1)]
203=α*χ+13 ---> α*χ=203-13 ---> α*χ=190 ---> α=190/χ με "χ" μεγαλύτερο του 14
298=β*χ+13 ---> β*χ=298-13 ---> β*χ=285 ---> β=285/χ με "χ"μεγαλύτερο του 14
Αναζητούμε τους κοινούς και μεγαλύτερους του 14 διαιρέτες των 190 και 285. Αλλά 190=2*5*19 και 285=3*5*19 με κοινούς και μεγαλύτερους του 14 διαιρέτες τους αριθμούς: 19 και 45 οι οποίοι είναι και οι δυνατές τιμές του "χ".

5 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

203-13=190=2*5*19
298-13=285=3*5*19
Άρα x=19 ή x=5*19=95

Nikos Lentzos είπε...

[Ταυτότητα της Ευκλείδειας: Δ=δ*π+υ με υ=0,1,2,...,(δ-1)]

203=α*χ+13 ή α=190/χ με χ>14
298=β*χ+13 ή β=285/χ με χ>14

Αναζητούμε τους κοινούς και μεγαλύτερους του 14 διαιρέτες
των 190 και 285.
Αλλά 190=2*5*19 και 285=3*5*19
με κοινούς και μεγαλύτερους του 14 διαιρέτες
τους αριθμούς: 19 και 45 οι οποίοι είναι
και οι δυνατές τιμές του χ

Papaveri είπε...

Συγχαρητήρια και στους δύο!! Οι απαντήσεις σας είναι σωστές.

Ανώνυμος είπε...

Μια ελαφρως διαφορετικη προσεγγιση:

203 = χ*κ +13 (1)
298 = χ*λ +13 (2)
Αφαιρουμε κατα μελη:
(2)-(1): 95=χ(λ-κ)=95*1=5*19
Αρα: χΕ{1,5,19,95} αλλα: χ>13 συνεπως: χΕ{19,95}
Voulagx

Papaveri είπε...

@Voulagx
Ωραία Λακωνική λύση!! Μπράβο σου.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes