Δευτέρα, 7 Δεκεμβρίου 2015

Οι Βρύσες

Μια βρύση γεμίζει μια δεξαμενή. Μια άλλη βρύση για να την αδειάσει χρειάζεται μια ώρα περισσότερο. Εάν ανοίξουμε και τις δύο βρύσες μαζί η δεξαμενή γεμίζει σε 2 ώρες. Πόσες ώρες απαιτούνται για να γεμίσει τη δεξαμενή η πρώτη βρύση; (Κατ.34)
Διευκρίνιση: 
Αναλυτική λύση.

Λύση

Για να γεμίσει τη δεξαμενή η πρώτη βρύση χρειάζεται μια ώρα. Έστω [α] η ποσότητα νερού της δεξαμενής. Εάν η «Α» βρύση γεμίζει τη δεξαμενή σε «x» ώρες, η «Β» βρύση την αδειάζει σε (χ+1) ώρες. Οπότε, σε 1 ώρα η «Α» βρύση γεμίζει το (α/x) της δεξαμενής, ενώ η «Β» βρύση αδειάζει το [α/(x+1)]. Σε 2 ώρες η «Α» βρύση έχει γεμίσει τα (2α/x) της δεξαμενής και η «Β» βρύση έχει αδειάσει τα [2α/(χ+1)] της δεξαμενής. Επειδή μετά από 2 ώρες η δεξαμενή γεμίζει, η ποσότητα του νερού που περιέχει είναι «α». Άρα έχουμε την εξίσωση:
2α/x-2α/(x+1)=α
Απλοποιούμε τα «α» κι’ έχουμε:
2/x-2/(x+1)=1
2*(x +1)-2*x =1*x *(x +1)
2x+2-2x=x^2+x
2=x^2+x
x^2+x-2=0
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x = [-β+/-sqrt[(β)^2-4αγ]/2*α]
x=[-1+/-sqrt[(1^2)-4*1*(-2)]/2*1]
x = [-1+/-sqrt[1+8]/2 ---> x= (-1+/-3)/2
x = (-1+3)/2 ---> x = 2/2 ---> x=1 και x = (-1-3)/2 ---> x = -4/2 ---> x= -2
Η εξίσωση αυτή έχει ρίζες χ = 1 και χ = -2.
Οπότε η «Α» βρύση θα γεμίσει τη δεξαμενή σε 1 ώρα.

3 σχόλια:

halb Wesen halb Ding είπε...

xQ1 = (x+1)Q2,
Q1, Q2 οι παροχές των 2 βρυσών, x o χρόνος σε ώρες, xQ1 η χωρητικότητα της δεξαμενής

2Q1 - 2Q2 = xQ1 =>
2Q1 - 2 xQ1/(x+1) = xQ1 =>
2Q1(1- x/(x+1) ) = xQ1 =>
2(1- x/(x+1) ) = x => x = 2/(x+1) => x^2+x-2=0 => (x-1)(x+2)=0 => x=1 ή x=-2

Κρατάμε το x=1, δηλ χρειάζεται μία ώρα.

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Αν η μια γεμίζει την δεξαμενή σε Χ ώρες η άλλη την αδειάζει σε Χ+1, οπότε σε μία ώρα έχουμε 1/Χ-1/(Χ+1)=1/2 -> 1/(X*(X+1))=1/2 -> X(X+1)=2 -> X=1

Papaveri είπε...

Συγχαρητήρια! Και οι δύο δώσατε την σωστή απάντηση.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes