Οι Αριθμοί

Έχουμε δυο φυσικούς αριθμούς «α» και «β» και κάνουμε με αυτούς τις πράξεις :

(α + β) , (α – β) , (α*β) , (α:β)

Το άθροισμα των αποτελεσμάτων των τεσσάρων αυτών πράξεων είναι 100:

[(α+β)+(α-β)+(α*β)+(α:β)=100] . 

Ποιοι είναι οι αριθμοί  «α», και «β» ; (Κατ.34)
Πηγή:http://49gym-athin.att.sch.gr/math/grifos.htm

Λύση

Το πρόβλημα έχει τρεις λύσεις:(α,β)=(9,9),(α,β)=((16,4),και(α,β)=((25,1). Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
[(α+β)+(α-β)+(α*β)+(α:β)=100 (1)
Από την (1) συνάγουμε:
α+β+α-β+α*β+α:β=100 ---> 2α+α*β+α:β=100 (2)
Επειδή στο δεύτερο μέλος έχουμε πράξεις μεταξύ φυσικών αριθμών (πλην της διαίρεσης) το αποτέλεσμα είναι ένας φυσικός αριθμός. Άρα και στο πρώτο μέλος το κλάσμα (α/β) είναι επίσης φυσικός αριθμός. Άρα το «α» είναι πολλαπλάσιο του «β». Δηλαδή (α/β)= κ, όπου «κ» φυσικός αριθμός, και α = κβ.
Αντικαθιστούμε στη (2)το(α/β) με «κ» και στο δεύτερο μέλος το «α» με «κβ» κι’ έχουμε:
2α+α*β+α:β=100 ---> 2κβ+κβ*β+κ=100 ---> κβ^2+2κβ+κ=100 --->κ(β^2+2β+1)=100 --->(β^2+2β+1)=100/κ
Στο πρώτο μέλος η παράσταση (β^2+2β+1^2) είναι το ανάπτυγμα του (β+1)^2, οπότε έχουμε:
(β^2+2β+1^2)=100/κ ---> (β+1)^2=100/κ (3)
Δηλαδή το (100/κ) είναι τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού. Δηλαδή το 100 πρέπει να διαιρείται ακριβώς δια του «κ» και το αποτέλεσμα της διαίρεσης να είναι τέλειο τετράγωνο. Από τους διαιρέτες του 100, που είναι οι 1,2,4,10,25,50, τέτοιο αποτέλεσμα έχουμε όταν:
(α)Το κ=1, τότε 100/κ=100/1=100=10^2 (4)
(β)Το κ=4, τότε 100/κ=100/4=25=5^2 (5)
(γ)Το κ=25, τότε 100/κ=4=2^2 (6)
Αντικαθιστούμε στη (3) το (100/κ) με τις τιμές των (4), (5) και (6) κι’ έχουμε:
(α)(β+1)^2=100/κ ---> (β+1)^2=10^2
Υψώνουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης στην τετραγωνική ρίζα για την απαλοιφή των τετραγώνων κι’ έχουμε:
sqrt[(β+1)^2]=sqrt[10^2] ---> (β+1)=10 ---> β=10-1 ---> β=9 (7)
(β)(β+1)^2=100/κ ---> (β+1)^2=5^2
Υψώνουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης στην τετραγωνική ρίζα για την απαλοιφή των τετραγώνων κι’ έχουμε:
sqrt[(β+1)^2]=sqrt[5^2] ---> (β+1)=5 ---> β=5-1 ---> β=4 (8)
(γ)(β+1)^2=100/κ ---> (β+1)^2=2^2
Υψώνουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης στην τετραγωνική ρίζα για την απαλοιφή των τετραγώνων κι’ έχουμε:
sqrt[(β+1)^2]=sqrt[2^2] ---> (β+1)=2 ---> β=2-1 ---> β=1 (9)
Αντικαθιστώντας τις τιμές των (7), (8), και (9) στη (2) έχουμε:
(α)2α+α*β+α:β=100 ---> 2α+9α+α:9=100 ---> 2*9α+9*9α+α=100*9 ---> 18α+81α+α=900 ---> 100α=900 --->α=900/100 ---> α=9 (10)
(β)2α+α*β+α:β=100 ---> 2α+4α+α:4 =100 ---> 2*4α+4*4α+α=100*4 ---> 8α+16α+α=400 ---> 25α=400 ---> α=400/25 ---> α=16 (11)
(γ)2α+α*β+α:β=100 ---> 2α+1α+α:1 =100 ---> 2*1α+1*1α+α=100*1 ---> 2α+1α+α=100 ---> 4α=100 ---> α=100/4 ---> α=25 (12)
Επαλήθευση:
(α)[(α+β)+(α-β)+(α*β)+(α:β)=100 ---> 9+9+9-9+9*9+9:9=100 ---> 18+81+1=100
(β)[(α+β)+(α-β)+(α*β)+(α:β)=100 ---> 16+4+16-4+16*4+16:4=100 ---> 32+64+4=100
(γ)[(α+β)+(α-β)+(α*β)+(α:β)=100 ---> 25+1+25-1+25*1+25:1=100 ---> 50+25+25=100