Η Ηλικία

Ο Κωστάκης ρωτάει τη γιαγιά του:
-«Ποια είναι η διαφορά της ηλικίας σας με το πατέρα μου;»
Και η γιαγια του απαντάει:
«Είμαι μεγαλύτερη από τον πατέρα σου κατά 45 χρόνια. Αλλά θα σου πω κι’ ένα περίεργο που έχουν οι ηλικίες μας», συνέχισε η γιαγιά. «Τα δύο ψηφία της ηλικίας μου, αν τα αντιστρέψεις σχηματίζουν την  ηλικία του πατέρα σου. Και μάλιστα, και τα δύο ψηφία είναι πρώτοι αριθμοί»
Πόσων χρονών είναι η γιαγιά; (Κατ.10/Νο.74)

Πηγή:http://lisari.blogspot.gr/2011/09/21.html

Λύση

Έστω «xy» η ηλικια της γιαγιας, που είναι της μορφής (10x+y) και «yx» η ηλικία του πάτερα που είναι της μορφής (10y+x). Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: xy-yx=45 --> (10x+y)-(10y+x)=45 --> 10x+y-10y-x=45 --> 9x-9y=45 --> 9(x-y)=45 --> x-y=45/9 --> x-y=5 --> x=y+5 Για y=0,1,2,3,4 παίρνω x=5,6,7,8,9 Άρα τα πιθανά ζεύγη είναι : 50,05- 61,16- 72,27- 83,38- 94,49. Και επειδή είναι πρώτοι αριθμοί σωστό ζευγάρι είναι 72 και 27. Επίσης η ηλικία της γιαγιάς είναι μεγαλύτερη από την ηλικία του πατέρα, άρα xy μεγαλύτερο yx δηλ. 10x+y μεγαλύτερο 10y+x άρα x μεγαλύτερο y, άρα 0 μικρότερο y μικρότερο x μικρότερο ή ισό με 9 φυσικοί αριθμοί.