Ένα «κίτρινο» δημοσίευμα !!

Δυο φίλοι  συζητούν.

Α:«Διάβασα στην εφημερίδα ότι στα υψίπεδα της Λοξολάνδης αρχαιολόγοι ανακάλυψαν σε ένα αρχαίο τάφο ένα πολύ παράξενο κτέρισμα.»

Β:«Τι το παράξενο είχε;»

Α:«Ήταν  ένα πεντάγραμμο αστέρι, όπου σε κάθε  σημείο που τέμνονται δυο πλευρές του,  (στο σχήμα  τα κόκκινα τετράγωνα), ήταν  σκαλισμένοι όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 1 μέχρι το 10.»

Β:«Ε και; Που είναι το παράξενο;»

Α:«Το παράξενο είναι στο ότι το άθροισμα οποιωνδήποτε  τεσσάρων αριθμών που βρίσκονται  σε  συνεχόμενα τετράγωνα στην ίδια γραμμή είναι σταθερό.»

Β:«Το δημοσίευμα είναι ψεύτικο!!»

Δεδομένου ότι ο «Β» δεν γνώριζε τίποτα για την αξιοπιστία του δημοσιογράφου ή της εφημερίδας  ή των αρχαιολόγων που ανακάλυψαν το κτέρισμα,  πως κατάλαβε ότι το δημοσίευμα είναι ψεύτικο; (Κατ.27/Νο.375)
Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/03/blog-post_25.html

 Λύση του Papaveri.

Ο Β κατάλαβε ότι το δημοσίευμα είναι ψευτικό από το γεγονός ότι το ανωτέρω Πεντάγραμμο ονομάζεται ελλιπές, διότι από την σειρά των αριθμών 1-12 λείπουν οι αριθμοί 7 και 11 για να μπορέσουμε να σχηματίσουμε Μαγικό  Άστρο με μικρότερη δυνατή Μαγική Σταθερά το 24 και μικρότερο δυνατό μέγιστο αριθμό το 12. Εαν αριθμήσουμε το Μαγικό Άστρο  από το 1 έως το 10 θεωρητικά θα έπρεπε να  έχουμε Μαγική Σταθερά το 22.

Διαφορετική Προσέγγυση της λύσεως:

Ο Β κατάλαβε ότι το δημοσίευμα είναι ψεύτικο, γιατί είναι αδύνατο να τοποθετηθούν  οι αριθμοί από το 1 μέχρι το 10 στα τετράγωνα του πενταγράμμου έτσι ώστε κάθε γραμμή να έχει το ίδιο άθροισμα. Πως μπορούμε να το αποδείξουμε;

Έστω ότι υπάρχει η ζητούμενη διάταξη αριθμών στο πεντάγραμμο. Το σχήμα αποτελείται συνολικά από 5 γραμμές .Το άθροισμα των αριθμών 1+2+3+…+10=55, όμως ο καθένας από τους αριθμούς εμφανίζεται σε δυο γραμμές άρα το άθροισμα όλων των γραμμών είναι 55+55=110 , αν διαιρέσουμε με το πλήθος των γραμμών

5( δεδομένου ότι υποθέσαμε ότι όλες οι γραμμές έχουν το ίδιο άθροισμα) βρίσκουμε 22. Το πρόβλημα τώρα είναι να τοποθετήσουμε τους αριθμούς έτσι ώστε σε κάθε γραμμή να έχουμε άθροισμα 22. Το 1 θα βρίσκεται σε δυο γραμμές οπότε οι υπόλοιποι αριθμοί σε καθεμία από τις 2 γραμμές του θα πρέπει να έχουν άθροισμα 2x21=42. Σίγουρα το 10 πρέπει να βρίσκεται σε μια από τις δυο γραμμές που περιέχουν το 1 γιατί το άθροισμα των υπολοίπων (χωρίς το 10) δεν αρκεί.

Δείτε 4+5+6+7+8+9=39 <42 .="" lang="EN-US" span="" style="mso-ansi-language: EN-US;">

Αν ονομάσουμε «Α» τη γραμμή που περιέχει το 1 και το 10 , «Β» την άλλη γραμμή με το 1 και «Γ» την άλλη γραμμή με το 10. Βλέπε σχήμα κατωτέρω.

 

Τότε στην γραμμή «Α»  θα έχουμε 4 δυνατούς συνδυασμούς .Εξαιρούμε τον συνδυασμό 1,10,4,7 γιατί θα ήταν αδύνατο να συμπληρωθούν σωστά με τους υπόλοιπους αριθμούς οι γραμμές «Β»  και «Γ»  . Οπότε εξετάζουμε τις υπόλοιπες περιπτώσεις :

Γραμμή	1ος Συνδυασμός	2ος Συνδυασμός	3ος Συνδυασμός
Α	1, 10, 2, 9	1, 10, 3, 8	1, 10, 5,, 6
Β	1, 6, 7, 8	1, 5, 7, 9	1, 4, 8, 9
Γ	10, 5, 4, 3	10, 6, 4, 2	10, 7, 3, 2

Αλλά θα πρέπει οι γραμμές Β και Γ να έχουν ένα κοινό αριθμό (στο πεντάγραμμο κάθε δυο γραμμές έχουν ένα κοινό τετράγωνο ) και αυτό δεν συμβαίνει σε καμιά περίπτωση. Άρα δεν είναι δυνατή η διάταξη που παρουσιάζει το δημοσίευμα.

Λύση του Ε. Αλεξίου

Ο κάθε αριθμός συμμετέχει σε 2 γραμμές, άρα 2*(1+2+.....+10)=2*55=110, άρα το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής είναι 110/5=22.
Αρχίζουμε να εξετάζουμε τις διάφορες περιπτώσεις θέσεων των αριθμών 1,...,10.
Στη μία από τις 2 γραμμές που βρίσκεται το 1 πρέπει να υπάρχει υποχρεωτικά το 10.
Το άθροισμα 2 γραμμών πρέπει να είναι 2*22=44 και ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει το 10, τότε μέγιστο δυνατό άθροισμα αυτών των γραμμών 2*1+4+5+6+7+8+9=41<42 10="" br=""> Εξετάζουμε τις 3 γραμμές, 2 με το 1, έστω Α και Β , και την άλλη με το 10, έστω Γ.
Αφού κάθε αριθμός υπάρχει σε 2 γραμμές πρέπει, αντίστροφα, οι γραμμές Β και Γ να έχουν ένα κοινό αριθμό και αυτό θα ελέγξουμε αφού κάνουμε τους δυνατούς συνδυασμούς των αριθμών των τριών αυτών γραμμών, έτσι που οι γραμμές ανά δύο να έχουν μόνο ένα κοινό αριθμό.
Α.....1,10,2,9........1,10,3,8........1,10,5,6.......1,10,4,7
Β.....1,06,7,8........1,05,7,9........1,04,8,9.......1,03,8,10 ή 1,3,9,9 ή...
Γ.....3,10,4,5........2,10,4,6........2,10,3,7.......
Παρατηρούμε ότι οι στους τρεις πρώτους συνδυασμούς δεν υπάρχει κοινός αριθμός και ο 4^ος συνδυασμός αδύνατον να σχηματισθεί. Ο σχηματισμός που περιγράφει το δημοσίευμα συνεπώς είναι ψεύτικος!