Το Άλογο που Χάθηκε

Μία μέρα ένα από τα μικρότερα άλογα, ενός Σεϊχη,  χάθηκε στην έρημο για πέντε μέρες. Περπάτησε μία απόσταση την πρώτη μέρα, και σε κάθε μία από τις υπόλοιπες περπάτησε ένα χιλιόμετρο περισσότερο από όσο είχε περπατήσει την προηγούμενη μέρα. Στο τέλος των πέντε ημερών, κατάφερε να επέστρεψε στο στάβλο εξαντλημένο, γιατί είχε περπατήσει συνολικά πενήντα πέντε χιλιόμετρα. Πόσα χιλιόμετρα περπάτησε την τελευταία μέρα; (Κατ.34/Νο.678)

Πηγή:http://mathefarm

Λύση

Τη τελευταία ημέρα περπάτησε 13χιλιόμετρα. Έστω «α» τα χιλιόμετρα που έκανε τη πρώτη ημέρα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: α΄Τρόπος Λύσης: α+(α+1)+ (α+2)+ (α+3)+ (α+4)=55 --> α+α+1+α+2+α+3+α+4=55 --> 5α+10=55 --> 5α=55-10 --> 5α=45 --> α=45/5 --> α=9 Επαλήθευση: α+(α+1)+ (α+2)+ (α+3)+ (α+4)=55 9+(9+1)+(9+2)+ (9+3)+ (9+4)=55 Άρα η σειρά είναι: 9+10+11+12+13=55 ο.ε.δ. β΄Τρόπος Λύσης: Βάσει του τύπου του αθροίσματος της αριθμητικής προόδου Σο=[(α+τ)*ν]/2 έχουμε: Σο=Συνολικό άθροισμα της αριθμητικής προόδου. α=Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου. τ=Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου. ν=Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου. Σο=[(α+τ)*ν]/2 --> 55=[(α+τ)*5]/2 --> (α+τ)= (55*2)/5 --> (α+τ)=110/5 --> (α+τ)=22 --> α=(22-τ) (1) και τ=(22-α) (2) Από το τύπο τ =α+(ν-1)*ω της αριθμητικής προόδου βρίσκουμε το πρώτο και το τε- λευταίο όρο της αριθμητικής σειράς. τ=Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου. α=Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου. ν=Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου. ω=Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται εις έναν όρο δια να δώσει τον επόμενο. Αντικαθιστούμε τη (2) στον ανωτέρω τύπο όπου βρίσκουμε το πρώτο όρο της αριθμητικής σειράς: τ=α+(ν-1)*ω --> 22-α=α+(5-1)*1 --> 22-α=α+4 --> 22-4=α+α -->2α=18 --> α=18/2 --> α=9 τ=α+(ν-1)*ω --> τ=22-τ+(5-1)*1 --> τ=22-τ+4 --> τ+τ=22+4 --> 2τ=26 --> τ=26/2 --> τ=13 Άρα σε 5 ημέρες διήνησε τα εξής χιλιόμετρα: 9+10+11+12+13=55 ο.ε.δ. γ΄Τρόπος Λύσης: Διαιρούμε το συνολικό άθροισμα με το πλήθος των όρων της σειράς και το πηλίκο μας δίνει το μεσαίο αριθμό της σειράς, δηλαδή 55:5=11. Για να συμπληρώσουμε τη σειρά επιλέγουμε 2 αριθμούς προς τ’ αριστερά κατά τη φθίνουσα σειρά και 3 αριθμούς προς τα δεξιά κατά την αύξουσα σειρά κι έχουμε: ν-2, ν-1, ν, ν+1, ν+2=55 9+10+11+12+13=55 ο.ε.δ.