Τα Κεριά

Δύο νεωκόροι συζητούν: 
Α:-«Θυμάμαι ότι άναψα δύο κεριά!!» 
Β:-«Είχαν το ίδιο μήκος;» 
Α:-«Όχι .Για την ακρίβεια το ένα κερί ήταν ένα εκατοστό μεγαλύτερο από 
το άλλο. Θυμάμαι ότι το μεγαλύτερο κερί σε μήκος το άναψα στις 16:30 
ενώ το πιο μικρό κερί σε μήκος το άναψα στις 18:00. Το παράξενο είναι 
ότι στις 20:30 τα δυο κεριά είχαν ακριβώς το ίδιο μήκος.» 
Β:-«Εντάξει .Αλλά και πάλι δεν μπορώ να βρω το μήκος του κάθε κεριού!!!» 
Α: -«Θυμάμαι ότι το μεγαλύτερο σε μήκος από τα δυο κεριά κάηκε εντελώς 
στις 22:30 ενώ το πιο μικρό σε μήκος κάηκε εντελώς στις  22:00!!!» 
Β: -«Τώρα μάλιστα, μπορώ να υπολογίσω το μήκος του κάθε κεριού!!!!»
Εσείς μπορείτε; (Κατ.13/Νο.36)

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/10/blog-post_19.html

Λύση

Ας συμβολίσουμε με "x" το μήκος του μεγαλυτέρου κεριού, και να θεωρήσουμε ότι καίγεται με ρυθμό "M" εκατοστά την ώρα. Τότε το κοντύτερο κερί έχει μήκος (x-1) εκατοστά. Ας συμβολίσουμε με "m" τον δικό του ρυθμό καύσης ανά ώρα. Από τα δεδομένα έχουμε ότι στις 20:30 , το μακρύτερο κερί έκαιγε για 4 ώρες και το πιο κοντό για 2 ½ ώρες ,και έχουν το ίδιο μήκος .Προκύπτει έτσι η σχέση: (x-4*M)=(x-1)-(5*m/2) --> -4*M=(x-1)-(5*m/2)-x --> -2*4*M=2*(x-1)-5*m-2*x --> -8*M=2*x-2-5*m-2*x --> -8*M= -2-5*m --> 8*M-5*m=2 (1) Επίσης γνωρίζουμε ότι το μακρύτερο κερί κάηκε πλήρως σε 6 ώρες και το πιο κοντό σε 4 ώρες , έτσι έχουμε: 6*M=x (2) 4*m=(x-1) (3) Αντικαθιστούμε τη (2) στη (3) κι’ έχουμε: 4*m=(χ-1) --> 4*m=(6*M-1) --> m=(6*M-1)/4 (4) Αντικαθιστούμε τη (4) στην (1) κι’ έχουμε: 8*M-5*m=2 --> 8*M-5*(6*M-1)/4=2 --> 4*8*M-5*(6*M-1)=4*2 --> 32*M-30*M+5=8 --> 2*M=8-5 --> 2*M=3 --> M=3/2 --> M=1,50 εκ. (5) Αντικαθιστούμε τη (5) στις (2) και (3) κι’ έχουμε: 6*M=x --> x=6*1,50 --> x=9εκ. (6) 4*m=x-1 --> 4*m=9-1 --> 4*m=8 --> m=8/4 --> m=2εκ.