Η Παρέλαση

Οι μαθητές ενός σχολείου  συμμετείχαν σε μια μεγάλη μαθητική παρέλαση .Στην αρχή τα παιδιά παρήλαυναν σε σχηματισμό τετραγώνου ,ενώ στην συνέχεια άλλαξαν το σχηματισμό τους  σε ορθογώνιο με αποτέλεσμα  ο αριθμός των γραμμών τους να αυξηθεί κατά  5 .Πόσοι μαθητές έλαβαν μέρος στην παρέλαση; (Κατ.34/Νο.677)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/02/blog-post_3229.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Σχηματισμός τετραγώνου, Χ μαθητές ανά γραμμή και στήλη, άρα πλήθος μαθητών Χ^2. Προστίθενται 5 γραμμές και έστω ότι αφαιρέθηκαν «α» στήλες μαθητών, «α» ακέραιος: Χ^2 = (Χ+5)*(Χ-α) --> Χ^2= Χ^2 +5Χ -αΧ -5α --> Χ*(5-α) =5α --> Χ=5α/(5-α), μηδεν μικρότερο "α" μικρότερο "5", για να έχουμε λύση. Για έλεγχο α = 1,2,3,4. Τα α = 1,2,3 απορρίπτονται διότι προκύπτει Χ κλασματικός αριθμός . Για α = 4, Χ=5*4/(5-4) --> Χ=5*4/1 --> Χ=20. Σύνολο μαθητών σε τετράγωνο: Χ^2=20^2=400. Σύνολο μαθητών σε ορθογώνιο: Χ^2=(20+5)*(20-4)=25*16=400. Λύση του Papaveri. Έλαβαν μέρος 400 μαθητές. Ας υποθέσουμε ότι αρχικά οι μαθητές σχημάτισαν ένα τετράγωνο (νxν) και επομένως το πλήθος των μαθητών είναι ν2 .Από την διατύπωση του προβλήματος αντιλαμβανόμαστε ότι το ν2 πρέπει να διαιρείται με (ν+5), επειδη είναι δυνατό να σχηματίσουν (ν+5) γραμμές. Εφόσον ν2=[(ν+5)(ν-5)+25]=ν2-5ν+5ν-25+25, έπεται ότι το 25 διαιρείται με το (ν+5). Ο μοναδικός διαιρέτης του 25 που είναι μεγαλύτερος του 5 είναι το ίδιο το 25 και επομένως έχουμε: (ν+5)=25 --> ν=25-5 --> ν=20 Αντικαθιστούμε τη τιμή του «ν» στο ν2 κι’ έχουμε: ν2= 202=400.