Ο Ιδιόρρυθμος Δωρητής

Ένας παράξενος μαθηματικός, θέλοντας να κάνει δώρα σε πέντε φίλους του, τούς αρίθμησε κατά σειρά από το 1 έως το 5 κι’ έδωσε στο καθένα τους από μία μάρκα. Η μάρκα του πρώτου είχε τον αριθμό 5, του δευτέρου τον αριθμό 25, του τρίτου τον αριθμό 125, του τέταρτου τον αριθμό 625 και του πέμπτου τον αριθμό 3.125. Στη συνέχεια τους παρουσίασε τα πέντε δώρα του, τα οποία είχε αριθμήσει, επίσης  με τους αριθμούς από το 1 έως το 5. Μετά απ’ όλη αυτή τη διαδικασία τους είπε  να διαλέξει ο καθένας τους ένα  από τα πέντε αριθμημένα δώρα και να πολλαπλασιάσουν τον αριθμό του εκλεγέντος δώρου επί τον αριθμό της μάρκας τους. Μετά και από τη διαδικασία αυτή ο μαθηματικός πρόσθεσε τα προκύψαντα γινόμενα και βρήκε ως τελικό άθροισμα 9.615. Ισχυρίσθηκε δε, ότι μπορεί να βρει ποιο δώρο διάλεξε ο καθένας. Εσείς τι λέτε, τα κατάφερε ο ιδιόρρυθμος μαθηματικός να βρει πιο δώρο διάλεξε ο καθ’ ένας από τους φίλους του; (Κατ.34/Ν.673)
Πρόβλημα του Αββά Huelle.

Λύση

Ο «α» πήρε το δώρο Νο.3, ο «β» πήρε το δώρο Νο.4, ο «γ» πήρε το δώρο Νο.1, ο «δ» πήρε το δώρο Νο.5, ο «ε» πήρε το δώρο Νο.2 Έστω «α», «β», «γ», «δ» και «ε» οι αριθμοί των δώρων, βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: α)5α+25β+125γ+625δ+3.125ε=9.615 Απλοποιούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης με το 5 κι’ έχουμε: α+5β+25γ+125δ+625ε=1.923 Οι τέσσερεις τελευταίοι όροι του πρώτου μέλους της ανωτέρω εξίσωσης διαιρούνται δια του 5, οπότε η τιμή του "α" είναι το υπόλοιπο της διαιρέσεως του 1.923 διά του 5, που είναι το 3 (1.923mod5). Άρα α=3 . β)5β+25γ+125δ+625ε=1920 Απλοποιούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης με το 5 κι’ έχουμε: β+5γ+25δ+125ε=384 Οι τρεις τελευταίοι όροι του πρώτου μέλους της ανωτέρω εξίσωσης διαιρού- νται δια του 5, οπότε η τιμή του "β" είναι το υπόλοιπο της διαιρέσεως του 384 διά του 5, που είναι το 4 (384mod5). Άρα β=4 . γ)5γ+25δ+125ε=380 Απλοποιούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης με το 5 κι’ έχουμε: γ+5δ+25ε=76 Οι δύο τελευταίοι όροι του πρώτου μέλους της ανωτέρω εξίσωσης διαιρούνται δια του 5, οπότε η τιμή του "γ" είναι το υπόλοιπο της διαιρέσεως του 76 διά του 5, που είναι το 1(76mod5). Άρα γ=1 . δ)5δ+25ε=75 Απλοποιούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης με το 5 κι’ έχουμε: δ+5ε=15 Οι τελευταίος όρος του πρώτου μέλους της ανωτέρω εξίσωσης διαιρείται διά του 5, οπότε η τιμή του "δ" είναι ο διαιρέτης του15, που είναι ο 5 (15mod5). Άρα δ=5 . ε)5ε=10 --> ε =10/5 . Άρα ε = 2 Επαλήθευση: 5α+25β+125γ+625δ+3.125ε=9.615 --> (5*3)+(25*4)+(125*1)+(625*5)+(3.125*2)=9.615 --> 15+100+125+3.125+6.250=9.615 ο.ε.δ.