Το Βιβλίο

 

Ο Κώστας, μανιώδης συλλέκτης σπανίων βιβλίων, αγόρασε από ένα παλαιοπωλείο βιβλίων ένα σπάνιο βιβλίο. Όταν γύρισε στο σπίτι του άρχισε να διαβάζει το νέο του απόκτημα. Σε κάποιο σημείο του βιβλίου είδε ότι έλειπαν μια σειρά από συνεχόμενες σελίδες. Το άθροισμα αυτών των σελίδων ισούται με 1.088. Με βάση την προσφιλή του συνήθεια προσπέρασε τις σελίδες που έλειπαν και συνέχισε απλά την ανάγνωση… έχοντας χάσει βέβαια ένα αρκετά μεγάλο κομμάτι της υπόθεσης… Ποιες σελίδες έλειπαν από το βιβλίο; (Κατ.34/Πρβ. Νο.460)

Λύση

Λείπουν 17 φύλλα από και την σελίδα 56 έως και την σελίδα 72.
Έστω «ν» ο πρώτος αριθμός της χαμένης σελίδας και «μ» το σύνολο των
σελίδων. Βάσει του τύπου της αριθμητικής προόδου έχουμε:
Σο=ν + (ν+1) + …. + (ν+μ-1) --> Σο=[[2ν+(μ-1)]*μ]/2 -->
1.088= [[2ν+(μ-1)]*μ]/2
Αναλύομε το 1.088 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
1.088 = 2^6*17 = 64*17
2^6*17 =[[2ν+(μ-1)]*μ]/2 --> 2^6*17 *2=[[2ν+(μ-1)]*μ] -->
2^7*17=[[2ν+(μ-1)]*μ] --> 128*17=[[2ν+(μ-1)]*μ]
Στο πρώτο μέλος το 17 δηλώνει τα φύλλα που λείπουν και το 128
το άθροισμα των σελίδων αυτών.
Στο δεύτερο μέλος εάν ο «μ» είναι ζυγός αριθμός τότε το (2ν+μ-1)
είναι περιττός, ενώ εάν ο «μ» είναι περιττός αριθμός τότε το
(2ν+μ-1) είναι ζυγός και μάλιστα μ<2ν+μ-1. Άρα από την παραπάνω σχέση: α) ή θα έχω μ=1 και [[2ν+(μ-1)]*μ] = 2^7x17 -->
[[2ν+(1-1)]*1] = 2^7x17 --> (2ν+0)*1=2^7x17 --> 2ν*1=2^7*17-->
2ν=2^7*17 (απορρίπτεται, γιατί λείπει πάνω από μία σελίδα, άρα μ>1)
β) ή θα έχω μ=17 και [[2ν+(μ-1)]*μ]=2^7*17 -->
[[2ν+(17-1)]*17]=2^7*17 --> (2ν+17-1)=(2^7*17)/17 -->
(2ν+16)=2^7 --> 2ν=128-16 --> 2ν=112 --> ν=112/2 --> ν=56
Για να βρούμε το τελευταίο όρο του αθροίσματος των σελίδων
χρησιμοποιούμε το τύπο:
τ = [α+(ν-1)*ω] --> τ = [56+(17-1)*1] --> τ = (56+16)*1 -->
τ = 72*1 --> τ = 72
Επαλήθευση:
Σο=[[2ν+(μ-1)]*μ]/2 --> Σο=[[(2*56)+(17-1)]*17]/2 -->
Σο=[(112+16)*17]/2 --> Σο=(128*17)/2 -->Σο= 64*17 -->
Σο=1.088 ο.ε.δ.