Rebus No.233 (5)

Λύση

Οχυρό [Οχυ(ΟΧΙ =Επέτειος του ΟΧΙ)ρο(Ρω= Νήσος Ρω ή Ρώγη ή Ροπή)]

Η Ταινία

Στην μακρινή χώρα της Φτηνολάνδης, η τιμή εισόδου σε έναν  κινηματογράφο καθορίζεται από την ηλικία και την ιδιότητα του θεατή. Το παιδικό εισιτήριο κοστίζει μισό ευρώ, το  φοιτητικό εισιτήριο κοστίζει δυο  ευρώ, ενώ το κανονικό εισιτήριο  κοστίζει τρία ευρώ. Γνωρίζουμε ότι την ταινία   “Χ”  την παρακολούθησαν  30 θεατές  και οι συνολικές εισπράξεις ήταν 30 ευρώ . Ο κ. Παπαδόπουλος  που παρακολούθησε την ταινία μαζί με το γιο του, που είναι φοιτητής στο πολυτεχνείο και την κόρη του που πηγαίνει στην 1η δημοτικού,  δήλωσε ότι δεν έχει δει χειρότερη ταινία στην ζωή του. Πόσοι ήταν φοιτητές, πόσα ήταν τα  παιδιά και πόσοι ήταν οι ενήλικοι θεατές; (Κατ.34/Νο.740)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/06/blog-post_337.html

Λύση

Λύση του Papaveri. Οι φοιτητές ήταν 5, τα παιδιά 22 και οι ενηλικες θεατές 3. Έστω «Π» ο αριθμός των παιδιών, «Φ» ο αριθμός των φοιτητών και «Υ» ο αριθμός των υπόλοιπων θεατών. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: Π+Φ+Υ=30 (1) 1/2Π+2Φ+3Υ=30 (2) Λύνουμε ως προς «Π» την (1) κι’ έχουμε: Π+Φ+Υ=30 ---> Π=30-Φ-Υ (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: 1/2Π+2Φ+3Υ=30 ---> 1/2*(30-Φ-Υ)+2Φ+3Υ=30 ---> 30-Φ-Υ+4Φ+6Υ=60 ---> 3Φ+5Υ=60-30 ---> 5Υ=30-3Φ ---> Υ=(30-3Φ)/5 ---> Υ=[3*(10-Φ)]/5 (4) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε τη διερεύνηση των ριζών. Ο αριθμός «Υ» των υπόλοιπων θεατών είναι ακέραιος αριθμός και κατά συνέπεια ο παράγοντας (10-Φ) είναι πολλαπλάσιο του αριθμού 5. Οι ακέραιες τιμές του «Φ», για τις οποίες ο αριθμός «Υ» είναι πολλαπλάσιο του 5 είναι οι 0, 5, και 10. Για Φ=0, απορρίπτεται, γιατί από την οικογένεια του κ. Παπαδόπουλου γνωρίζουμε ότι την ταινία τη παρακολούθησαν τουλάχιστον ένας θεατής από κάθε κατηγορία (Π διάφορο του 0, Φ διάφορο το0 και Υ διάφορο το 0). Για Φ=5 έχουμε: Υ=[3*(10-Φ)]/5 ---> Υ=[3*(10-5)]/5 ---> Υ=3*5/5 ---> Υ=3*1 ---> Υ=3 (5) Για Φ=10 έχουμε Υ=[3*(10-Φ)]/5 ---> Υ=[3*(10-10)]/5 ---> Υ=3*0/5 ---> Υ=3*0 ---> Υ=0 Απορρίπτεται λόγω του ότι (Π διάφορο του 0, Φ διάφορο το0 και Υ διάφορο το 0). Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε: Π=30-Φ-Υ ---> Π=30-5-3 ---> Π=22 Τη ταινία την παρακολούθησαν 22 παιδιά, 5 φοιτητές και 3 ενήλικοι υπόλοιποι θεατές. Επαλήθευση: Π+Φ+Υ=30 ---> 22+5+3=30 1/2Π+2Φ+3Υ=30 ---> 1/2*22+2*5+3*3=30 ---> 11+10+9=30 ο.ε.δ. Λύση του Ε. Αλεξίου. 0,5x+2y+3(30-x-y) ---> 0,5x+2y+90-3x-3y=30 ---> 2,5x+y=60 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με τον αριθμό 2 κι’ έχουμε: 2,5x+y=60 ---> 2*2,5x+2y=2*60 --->5x+2y=120 ---> 2y=120-5x ---> y=60-5x/2=5(12-x/2). Θέτω χ=2n ---> y=5(12-n), n=1,2,3,... (1) Επειδή z μεγαλύτερο ή ίσο με 1 ---> x+y μικρότερο του 30 --->5x μικρότερο του 150-5y --> 120-2y μικρότερο του 150-5y ---> 3y μικρότερο του 30 ---> y μικρότερο του 10 και σε συνδυασμό με την (1) ---> n=11. Συνεπώς x=2*11=22, y=5 και z=3 (22*0.5+5*2+3*3=30) Λύση του Βασίλη. Έστω x, y, z τα πλήθη των παιδιών, των φοιτητών και των ενηλίκων θεατών αντίστοιχα. Οι x, y, z είναι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι του 28, εφόσον έχουμε τουλάχιστον έναν θεατή από κάθε κατηγορία. Ισχύουν επίσης: x+y+z=30 (1) 0,5x+2y+3z=30 (2) Πολλαπλασιάζουμε την (2) επί δύο και έχουμε: 2x(2)=>x+4y+6z=60 (3) Αφαιρούμε την (1) από την (3) και έχουμε: (3)-(1)---> 3y+5z=30 ή y=(30-5z)/3 (4) Ο y είναι είναι ακέραιος, άρα πρέπει και ο (30-5z)/3 να είναι ακέραιος, δηλαδή πρέπει η παράσταση Α=30-5z να είναι πολλαπλάσια του 3. Αυτό ισχύει για z=3 μόνο. Τότε είναι, λόγω της (4): y=5 και λόγω της (1): x=22. Επομένως στους θεατές είχαμε 22 παιδιά, 5 φοιτητές και 3 ενήλικες θεατές. Πιθανότατα η ταινία ήταν παιδική, για αυτό και δεν άρεσε στον κ. Παπαδόπουλο.

Ο Δολοφόνος

Τέσσερις ύποπτοι συνελήφθησαν για ένα φόνο. Κατά την διάρκεια της ανάκρισης από τον επιθεωρητή Clouseau, διαπιστώθηκε ότι:

-Ένας από τους τέσσερις διέπραξε το φόνο.

-Μόνο ένας από τους τέσσερις  είπε την αλήθεια .

Οι δηλώσεις των τεσσάρων ύποπτων ήταν οι εξής: 

Αντώνης: "Ο Βασίλης το έκανε." 

Βασίλης:"Ο Δημήτρης το έκανε." 

Γιάννης:"Δεν το έκανα εγώ." 

Δημήτρης:"Ο Βασίλης  λέει ψέματα."

Ποιος είναι ο δολοφόνος; (Κατ.27/Νο.417)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/06/blog-post_10.html
Λύση

Λύση του Βασίλη. Αφού μόνο ένας από τους τέσσερις είπε την αλήθεια έχουμε διαδοχικά: α)Αν ο Αντώνης είπε την αλήθεια, τότε ο Βασίλης το έκανε. Πρέπει όμως όλες οι άλλες δηλώσεις να είναι ψευδείς, άρα και αυτή του Γιάννη, άρα και ο Γιάννη διέπραξε το φόνο, άτοπο β)Αν ο Βασίλης λέει την αλήθεια, τότε καταλήγουμε στο παραπάνω άτοπο. Επίσης δε γίνεται να ευσταθεί και η δήλωση του Αντώνη, καθώς πρέπει να είναι ψευδής και άρα ο Βασίλης να είναι αθώος. γ)Αν ο Γιάννης είπε την αλήθεια, τότε δεν διέπραξε αυτός τον φόνο και η δήλωση του Αντώνη είναι ψευδής, άρα ούτε ο Βασίλης είναι ο ένοχος. Επίσης και η δήλωση του Βασίλη είναι ψευδής, άρα ούτε ο Δημήτρης είναι ένοχος. Όμοια είναι ψευδής και η δήλωση του Δημήτρη, οπότε ο Βασίλης λέει αλήθεια και πέφτουμε σε άτοπο. δ)Αν ο Δημήτρης είπε την αλήθεια, τότε ο Βασίλης λέει ψέματα (αληθεύει λόγω της υπόθεσης) και ο Αντώνης λέει ψέματα όμως, άρα ο Βασίλης είναι αθώος. Επίσης και ο Γιάννης λέει ψέματα, άρα αυτός είναι ο ένοχος. Συνεπώς ο ένοχος είναι ο Γιάννης Λύση του Ε. Αλεξίου. -Αντώνης: "Ο Βασίλης το έκανε." Έστω ότι λέει αλήθεια, όμως και ο Γιάννης: "Δεν το έκανα εγώ." λέει αλήθεια, άτοπο αλλά δεν έχουμε τον ένοχο. -Βασίλης:"Ο Δημήτρης το έκανε." Έστω ότι λέει αλήθεια, όμως και ο Γιάννης: "Δεν το έκανα εγώ." λέει αλήθεια, άτοπο αλλά δεν έχουμε τον ένοχο. -Γιάννης:"Δεν το έκανα εγώ." Έστω ότι λέει αλήθεια, συνεπώς οι άλλοι τρείς πρέπει να ψεύδονται, όμως ο Δημήτρης: "Ο Βασίλης λέει ψέματα." λέει αλήθεια, άτοπο, άρα ο Γιάννης λέει ψέμματα και έχουμε τον ένοχο, αυτός είναι ο ένοχος! Και αφού “-Ένας από τους τέσσερις διέπραξε το φόνο.” δεν χρειάζεται να ελεγχθεί η πρόταση του Δημήτρη. Λύση του Papaveri. Ο Γιάννης. Εάν ο Γιάννης ήταν ο αθώος , τότε η δήλωση του θα ήταν αληθής και οι άλλοι τρεις ύποπτοι ψεύδονται. Αυτό όμως σημαίνει ότι ο Δημήτρης λέει αλήθεια. Άτοπο (μόνο ένας από τους 4 λέει αλήθεια.). Άρα ο Γιάννης δεν μπορεί να είναι αθώος , οπότε είναι ο δολοφόνος.

Το Αξιοπερίεργο

1)Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε ν’ ανακατέψουμε τα φύλλα μιάς τράπουλας; 

2)Ποιός είναι μεγαλύτερος αριθμός, αυτός των διαφορετικών τρόπων ανακατέματος της τράπουλας ή η μέγιστη εκτίμηση της ηλικίας του Σύμπαντος σε δευτερόλεπτα; (Κατ.5/Νο.95)

Λύση

Ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών τρόπων που μπορούμε να την ανακατέψουμε είναι 52! = ≈ 8,0658175170943878571660636856404*1067 = ≈ 8,06582*10^67 Οι επιστήμονες εικάζουν ότι η ηλικία του σύμπαντος είναι ανάμεσα στα 10 και 16 δισεκατομμύρια χρόνια (16,000,000,000) Ας πάρουμε την μεγαλύτερη τιμή 16,000,000,000 =16*10^9 χρόνια και ας το μετατρέψουμε σε δευτερόλεπτα Έχουμε: -60 δευτερόλεπτα σε ένα λεπτό. -60 λεπτά σε μια ώρα . -24 ώρες σε μια ημέρα . -365 ημέρες σε ένα χρόνο ( 366 ημέρες στο δίσεκτο έτος). Άρα η μεγίστη εκτίμηση της ηλικίας του σύμπαντος σε δευτερόλεπτα είναι: 60 x 60 x 24 x 366 x 16,000,000,000 = 505.958.400.000.000.000 = ≈ 5,1*10^17 δευτερόλεπτα Παρατηρούμε ότι: 8,06582*10^67 > 5,1*10^17 Άρα είναι σαφές ότι υπάρχουν περισσότεροι τρόποι να ανακατευτεί μια τράπουλα από ό,τι η ηλικία του σύμπαντος σε δευτερόλεπτα.

Τα Χριστούγεννα

Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα, η μέρα των Χριστουγέννων να είναι Κυριακή,  δεν είναι το 1/7. (Κατ.33/Νο.41) 

Μαθηματικός Διαγωνισμός Putnam,1950

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/12/putnam.html

Λύση

Λύση του Βασίλη. Ένας χρόνος έχει 365 ημέρες, δηλαδή 365/7=52 εβδομάδες και 1 ημέρα. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι, αν φέτος τα Χριστούγεννα είναι Δευτέρα, το επόμενο έτος θα είναι Τρίτη, το μεθεπόμενο Τετάρτη κ.ο.κ. Κάθε τέσσερα έτη όμως έχουμε το δίσεκτο έτος το οποίο έχει 366 ημέρες, ήτοι: 52 εβδομάδες και δύο ημέρες. Άρα, αν τα Χριστούγεννα φέτος είναι Τρίτη και έπεται δίσεκτο έτος, τα επόμενα Χριστούγεννα θα είναι Πέμπτη. Ξεκινάμε από τα Φετινά Χριστούγεννα που είναι Πέμπτη και το επόμενο δίσεκτο έτος είναι το 2016. Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα: Χριστούγεννα(έτος)-Ημέρα 2014-Πέμπτη, 2015-Παρασκευή, 2016-Κυριακή, 2017-Δευτέρα, 2018-Τρίτη, 2019-Τετάρτη, 2020-Παρασκευή, 2021-Σάββατο, Βλέπουμε ότι, για να περάσει η γιορτή από όλες τις ημέρες δε χρειάστηκαν επτά χρόνια (όπως θα συνέβαινε αν δεν υπήρχαν δίσεκτα έτη), αλλά 8 και πως η πιθανότητα να πέσουν τα Χριστούγεννα Κυριακή είναι 1/8 σε αυτήν την περίπτωση. Αυτή η οκταετία είναι και η ελάχιστη διάρκεια ετών μέσα στην οποία μπορούν να "εξαντληθούν" όλες οι ημέρες που μπορούμε να έχουμε Χριστούγεννα. Συνεπώς γενικά η πιθανότητα να έχουμε Χριστούγεννα Κυριακή είναι ν/8, όπου «ν» θετικός ακέραιος μικρότερος του οκτώ. Όμως κανένας από τους αριθμούς αυτούς (ν/8) δεν είναι ίσος με 1/7, συνεπώς η πιθανότητα να είναι τα Χριστούγεννα Κυριακή δεν είναι 1/7. Σημείωση: Το παραπάνω πόρισμα ισχύει και για κάθε άλλη ημέρα. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Η πιθανότητα δεν είναι η ίδια για όλες τις ημέρες. Σ’ έναν κύκλο 400 γρηγοριανών ετών, έχουμε: KYΡ ΔΕΥ ΤΡΙ ΤΕΤ ΠΕΜ ΠΑΡ ΣΑΒ. 1η Ιανουαρίου: 58 56 58 57 57 58 56. H 1η Γενάρη (άρα και τα Χριστούγεννα που πέφτουν ίδια μέρα) είναι ελαφρώς πιο πιθανό να πέσει Κυριακή, Τρίτη ή Παρασκευή: 58/400=14,5% μεγαλύτερο του 1/7 Αντίθετα η Δευτέρα και το Σάββατο εμφανίζονται 56 φορές μέσα στον κύκλο και έχουν ελαφρώς λιγότερες πιθ. από 1/7. Ο λόγος είναι βεβαίως πως το 400 δεν διαιρείται ακριβώς με το 7. Λύση του Papaveri. H μέρα των Χριστουγέννων αλλάζει κάθε χρόνο. Είναι εύλογο λοιπόν να υποτεθεί ότι κάθε μέρα της εβδομάδας έχει τις ίδιες πιθανότητες να είναι η μέρα των Χριστουγέννων. Όμως αυτό δεν είναι σωστό!! Δεν έχουν όλες οι μέρες της εβδομάδας την ίδια πιθανότητα να πέφτουν Χριστούγεννα .Για να είμαστε ακριβείς το πρόβλημα αφορά το Γρηγοριανό ημερολόγιο και οι κανόνες που καθορίζουν τα δίσεκτα και τα μη δίσεκτα έτη είναι: 1.Τα έτη που δεν είναι δίσεκτα έχουν 365 μέρες ενώ τα έτη που είναι δίσεκτα έχουν 366 μέρες . 2.Τα μη δίσεκτα έτη δεν είναι πολλαπλάσια του 4 ή διαιρούνται με το 100 αλλά όχι με το 400( για παράδειγμα τα 1700,1800 και 1900 δεν ήταν δίσεκτα έτη.) 3.Τα δίσεκτα έτη διαιρούνται με το 4 αλλά όχι με το 100 ή διαιρούνται με το 400( για παράδειγμα τα έτη 1600 και 200 ήταν δίσεκτα). Επανερχόμαστε στο αρχικό ερώτημα: « να αποδειχτεί ότι η πιθανότητα η μέρα των Χριστουγέννων να είναι Κυριακή δεν είναι 1/7» Καταρχήν ας δούμε γιατί αλλάζει κάθε χρόνο η μέρα των Χριστουγέννων. Ένα έτος με 365 ημέρες έχει 52 εβδομάδες και 1 επιπλέον ημέρα .Αυτή η μέρα είναι η αιτία που κάθε ερχόμενο έτος θα ξεκινήσει μια μέρα αργότερα από ότι ξεκίνησε το προηγούμενο (αν το 2011 ξεκίνησε με Σάββατο ,το 2012 θα ξεκινήσει με Κυριακή) .Άρα η διαδικασία αυτή το επόμενο έτος θα «σπρώξει» και την ημέρα των Χριστουγέννων κατά μια μέρα. Είναι αναμενόμενο λοιπόν ύστερα από ένα συγκεκριμένο αριθμό ετών θα υπάρξει ταύτιση όλων των ημερών ενός έτους με τις ημέρες κάποιου από τα προηγούμενα. Ποιος είναι αυτός ο χρονικός κύκλος .Για το Γρηγοριανό ημερολόγιο ο χρονικός κύκλος είναι 400 χρόνια . Δείτε, κάθε 400 χρόνια έχουμε 303 μη δίσεκτα έτη και 97 δίσεκτα έτη, ένα σύνολο από 303x365+97x366= 146.097 μέρες . Ο αριθμός αυτός διαιρείται ακριβώς με το 7, αυτό σημαίνει ότι 400 χρόνια είναι ακριβώς 146.097/7=20.871 εβδομάδες .Χωρίς υπόλοιπο καμία μέρα , η μέρα της εβδομάδας που θα πέσουν τα Χριστούγεννα καθώς και όλες οι άλλες μέρες θα είναι οι ίδιες κάθε 400 χρόνια. Τώρα όσο αφορά τη ζητούμενη πιθανότητα .Ας υποθέσουμε ότι σε κάθε διάστημα 400 ετών υπάρχουν "Ε" έτη που τα Χριστούγεννα θα πέφτουν Κυριακή , τότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι Ε/400 αλλά για καμία φυσική τιμή του "Ε" το κλάσμα Ε/400 δεν ισούται με το 1/7. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η συχνότητα εμφάνισης κάθε ημέρας στην γιορτή των Χριστουγέννων σε διάστημα 400 ετών, αποδεικνύεται ότι: Κυριακή: 58 φορές. Δευτέρα:56 φορές. Τρίτη:58 φορές. Τέταρτη:57 φορές. Πέμπτη:57 φορές. Παρασκευή:58 φορές. Σάββατο:56 φορές. Άρα είναι πιθανότερο η μέρα των Χριστουγέννων να πέσει Κυριακή, Τρίτη ή Παρασκευή. Οι προληπτικοί θα είναι καλό να γνωρίζουν ότι η 13 κάθε μήνα είναι πιθανότερο να πέσει Παρασκευή παρά οποιαδήποτε άλλη μέρα της εβδομάδας

Το Κιβώτιο

Ένας έμπορος έχει στην αποθήκη του 6 κιβώτια χωρητικότητας 
15,16,18,19,20 και 31 κιλών, τα 5 από αυτά είναι γεμάτα καρφιά 
ενώ το ένα γεμάτο βίδες .Ένας πελάτης το πρωί αγόρασε δυο 
κιβώτια (από τα 6) γεμάτα καρφιά ενώ το απόγευμα ένας άλλος 
πελάτης αγόρασε και αυτός τα υπόλοιπα καρφιά που ήταν 
διπλάσια σε ποσότητα από όση περιείχαν τα δυο κιβώτια που 
πουλήθηκαν το πρωί.Ποιο από τα 6 κιβώτια περιείχε βίδες; 
(Κατ.34/Νο.734.)  

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/06/blog-post.html 

Λύση

Λύση του Βασίλη. Ο δεύτερος αγοραστής προφανώς αγόρασε τρία κουτιά τα οποία, εφόσον περιείχαν τη διπλάσια ποσότητα καρφιών, είχαν συνολικό άθροισμα κάποιον άρτιο αριθμό (αν τα δύο πρώτα είχαν ν καρφιά, αυτά θα είχαν 2ν, άρα άρτιο πλήθος). Συνεπώς, για να έχουν τρεις αριθμοί άθροισμα άρτιο πρέπει: α)και οι τρεις να είναι άρτιοι, αφού 2ν+2κ+2λ=2(ν+κ+λ), άρτιος. β)δύο περιττοί και ένας άρτιος, αφού, 2ν+1+2κ+1+2λ=2(ν+κ+λ+1), άρτιος. Επομένως, από τους δοθέντες αριθμούς προκύπτουν οι εξής πιθανοί συνδυασμοί αγοράς για τον δεύτερο αγοραστή: i)16+18+20=54, ii)15+16+19=50, iii)15+16+31=62, iv)16+19+31=66, v)15+18+19=52, vi)15+18+31=64, vii)18+19+31=68, viii)15+19+20=54, ix)15+20+31=66, x)19+20+31=70. Η ελάχιστη ποσότητα που μπορεί να αγόρασε ο πρώτος αγοραστής είναι 15+16=31 κιλά καρφιά, άρα ο δεύτερος αγόρασε τουλάχιστον 2x31=62 κιλά. Συνεπώς δεκτές είναι μόνο οι παρακάτω τριάδες: iii)15+16+31=62, iv)16+19+31=66, vi)15+18+31=64, vii)18+19+31=68, ix)15+20+31=66, x)19+20+31=70. Τώρα πρέπει να είναι εφικτό, δύο από τους εναπομείναντες αριθμούς κάθε τριάδας να έχουν άθροισμα ίσο με το μισό της τριάδας. Αναλυτικά έχουμε: iii)Μένουν: 18, 19, 20, αδύνατο να έχουν άθροισμα 31, iv)Μένουν: 15, 18, 20, 18+15=33, δεκτό, vi)Μένουν: 16, 19, 20, αδύνατο να έχουν άθροισμα 32, vii)Μένουν: 15, 16, 20, αδύνατο να έχουν άθροισμα 34, ix)Μένουν: 16, 18, 19, αδύνατο να έχουν άθροισμα 33, x)Μένουν: 15, 16, 18, αδύνατο να έχουν άθροισμα 35. Οπότε η μοναδική λύση είναι η iv), δηλαδή, ο πρώτος να αγόρασε τα κιβώτια χωρητικότητας 15 και 18 κιλών, α δεύτερος τα κιβώτια χωρητικότητας 16, 19 και 31 κιλών και έτσι προκύπτει ότι αυτό που περιέχει τις βίδες είναι το κιβώτιο των 20 κιλών. Λύση του Papaveri. Το κιβώτιο των 20κιλών περιέχει βίδες .Η συνολική ποσότητα των καρφιών είναι πολλαπλάσιο του 3, εφόσον αγοράστηκε σε δυο δόσεις η μια διπλάσια της άλλης .Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού είναι πολλαπλάσιο του 3. Αν όμως προσθέσουμε όλες τις ποσότητες καρφιά και βίδες έχουμε 15+16+18+19+20+ 31=119 το οποίο διαιρούμενο με το 3 δίνει υπόλοιπο 2.Αρα και το κουτί που περιέχει βίδες αφήνει υπόλοιπο 2 διαιρούμενο με το 3., κάτι που ισχύει μόνο με το 20=3Χ6+2. Τελικά ο πρώτος πελάτης αγόρασε τα κιβώτια των 15 και 18κιλών , ενώ ο δεύτερος τα κιβώτια των 16 , 19 ,31κιλών.

Η Αναβάθμιση

Μία τράπεζα ανέθεσε σε μία ομάδα ειδικών υπαλλήλων της να αναβαθμίσει τη μηχανογράφηση της σε 12 μήνες. Ύστερα από 9 μήνες αποχώρησαν 4  υπάλληλοι, και έτσι η αναβάθμιση της μηχανογράφησης 
τελείωσε σε 15  μήνες. Πόσα ήταν τ’ άτομα στην ομάδα που ανέλαβαν 
αρχικά την αναβάθμιση της μηχανογράφησης; (Κατ.34/Νο.730)
Πηγή:http://nikos-kritikos.blogspot.gr/2013/12/123.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Αφού όλοι μαζί ήθελαν 3(=12-9) μήνες να τελειώσουν την μηχανοργάνωση και οι τέσσερις(4) ήθελαν 6(=15-9) μήνες, τον διπλάσιο χρόνο, εύκολα συνάγεται ότι όλοι μαζί ήταν 4*2=8 υπάλληλοι. ΣΗΜ. Θεωρήθηκε ίδια η απόδοση εργασίας όλων των υπαλλήλων