Οι Αριθμοί

Το άθροισμα δυο αριθμών είναι 45. Το άθροισμα του λόγου τους και του αντίστροφου του λόγου τους είναι 2,05. Ποιοι είναι οι αριθμοί;

Πηγή: Εισαγωγικές Εξετάσεις στη Σχολή Ικάρων, 1967

Λύση

Οι αριθμοί είναι ο 20 και ο 25. Έστω α και β οι αριθμοί. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
(α+β)=45 (1)
α/β+β/α=2,05 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
(α+β)=45 --> β=45-α (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
α/β+β/α=2,05 --> α^2+β^2=2,05αβ --> (α+β)^2-2αβ= 2,05αβ =>
45^2=2αβ+2.05αβ --> 2.025= 4,05αβ --> αβ=2.025/4.05--> αβ=500 (4)
Αντικαθιστώ τη τιμή β από τη (3) στη (4) κι’ έχουμε:
α*(45-α)=500 --> 45α –α^2 =500 --> α^2-45α+500=0
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x = -β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α έχουμε:
x = -β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α --> x = -β±sqrt[(-45)^2-4*1*500]/2*1 --->
x = -β±sqrt[2.025-2.000]/2 --> x =[45±sqrt(25)]/2 --> x = (45±5)/2
x1=(45+5)/2 --> x1=50/2 --> x1=25
x2=(45-5)/2 --> x2=40/2 --> x2=20
Άρα:
α=25 ή α=20 και β=20 ή β=25 αντίστοιχα.
Επαλήθευση:
(α+β)=45 --> 25+20=45
α/β+β/α=2,05 -->(25/20)+(20/25)=2,05 --> 1,25+0,80=2,05
(α+β)=45 --> 20+25=45
α/β+β/α=2,05 --> (20/25)+(25/20)=2,05 --> 0,80+1,25=2,05

Ο Κλέφτης

Κάποιος συνελήφθει, από τους φύλακες του βασιλιά, στα βασιλικά ανάκτορα ενώ προσπαθούσε να κλέψει αντικείμενα από το θησαυροφυλάκιο. Τον οδήγησαν στο βασιλιά και αυτός του είπε:

 «Θέλω να μου πεις πια ποινή σκεπτομαι  να πραγματοποιήσω γι’ αυτη σου τη πράξη: να  σε ρίξω στα λιοντάρια ή να σε ρίξω στους κροκόδειλους. Αν αυτή είναι αληθής, θα σε ρίξω στα λιοντάρια. Αν αυτή είναι ψευδής, θα σε ρίξω στους κροκόδειλους.»

Ο κλέφτης, αφου σκέφθηκε για λίγο, έδωσε μία απάντηση και ο βασιλιάς τον άφησε ελεύθερο. Ποια ήταν η απάντηση που έδωσε στον βασιλιά;

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/05/vs.html

Λύση

Η απάντηση που έδωσε στο βασιλιά ήταν:
«Θα με ρίξεις στους κροκόδειλους!!»
που προκαλεί έναν φαύλο κύκλο συλογισμών καταλήγοντας σε παράδοξο. 1.)Εάν η πρόταση είναι αληθής, πρέπει να ριχθεί στα λιοντάρια, γεγονός που την κάνει ψευδή, οπότε πρέπει να ριχθεί στους κροκόδειλους, γεγονός που την κάνει αληθή ...
2.)Εάν η πρόταση είναι ψευδής, πρέπει να ριχθεί στους κροκόδειλους, γεγονός που την κάνει αληθή, οπότε πρέπει να ριχθεί στα λιοντάρια, γεγονός που την κάνει ψευδή ..

Πάσχα 2018!!

 

Ελληνικά: "Χριστός Ανέστη!"

Λατινικά: "Christus resurrexit! Resurrexit vere!"

Ιταλικά: "Gesù Cristo è risorto! È veramente risorto!"

Αγγλικά: "Christ is Risen! Truly He is Risen!" or

Αγγλικά:"Christ is Risen! He is Risen indeed!"

Γαλλικά: "Le Christ est ressuscité! Il est vraiment ressuscité!"

 * * * * * * * * * 

Χριστός Ανέστη! Η ιστοσελίδα «Papaveri1948” εύχεται σε όλους Χρόνια Πολλά! Είθε, ο Αναστημένος Χριστός να μας βοηθήσει να ξεπεράσουμε την οικονομική κρίση, στην οποία έχουμε περιέλθει, και να ζήσουμε καλύτερες ημέρες!

Πάσχα 2018!!

Η προσαγωγή του Χριστού ενώπιον του 

Πιλάτου,όπου καταδικάζεται σε σταυρικό θάνατο.

Η ιστοσελίδα του "Papaveri48" εύχεται σε όλους τους φίλους της ιστοσελίδας Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα!!

Μόνο Δύο Ψέματα!

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2013/10/blog-post_17.html

Λύση

Η τιμή του "χ" είναι 11. Οι προτάσεις 1 και 4 είναι ψευδείς.
(1)3Χ μεγαλύτερο του 35 :................12…..20 21 22 23…..48 49 50…..
(2)7Χ μεγαλύτερο ή ίσον του 43 :.....7 8 9 10 11 12…..20 21 22 23….. 48 49 50…..
(3)2Χ μικρότερο ή ισον του 99 :.…..5 6 7 8 9 10 11 12…..20 21 22 23…..48 49
(4)Χ μεγαλύτερο ή ίσον του 21 :..................22 23…..48 49 50…..
(5)5Χ μεγαλύτερο ή ίσον του 51 :...........11 12…..20 21 22 23…..48 49 50…..
Μόνο μια στήλη έχει ακριβώς τρεις αριθμούς άρα Χ=11, και οι συνθήκες 1 και 4 είναι ψευδείς.

Διαφορά Χρόνου

Δύο αυτοκίνητα, A και B, ξεκινούν από το σημείο «Ο», την ίδια στιγμή, για να κάνουν μία συγκεκριμένη διαδρομή 140km. μέχρι το σημείο «Β». Tο αυτοκίνητο «A» τρέχει με 55km/h και το αυτοκίνητο «B» τρέχει με 45Km/h. Με πόσα λεπτά διαφορά θα φθάσουν στο σημείο «Β»;

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/blog-post_3825.html

Λύση

Το αυτοκίνητο «Α» θα φθάσει 34,20 λεπτά νωρίτερα από το αυτοκίνητο «Β» Βάσει του τύπου της Ευθύγραμμης Ομαλής Κίνησης S = υ*t έχουμε:
(α)Χρόνος του αυτοκινήτου «Α» που απαιτείται για να φθάσει στο τέρμα της διαδρομής:
S = υ*t --> t1 = S/υ --> t1 = 140/55 --> t1 = 2,54 ώρες
(β)Χρόνος του αυτοκινήτου «B» που απαιτείται για να φθάσει στο τέρμα της διαδρομής:
S = υ*t --> t2 = S/υ --> t2 = 140/45 --> t2 = 3,11 ώρες
Διαφορά των Χρόνων:
Δ=t2 - t1 = 3,11-2,54=0,57ώρες.
Μετατρέπουμε τις ώρες σε λεπτά.
0,57*60=34,20λεπτά

Η Έκταση

Εάν ο παγκόσμιος πληθυσμός των 6,5 δισεκατομ-
μυρίων ανθρώπων συγκεντρωθεί σε μία δοσμένη επίπεδη επιφάνεια, πόσο μεγάλη θα είναι η έκταση που θα καλυφθεί;

Διευκρίνιση:

Σε κάθε άτομο αναλογεί επιφάνεια (70cm*70cm). Η απάντηση να δοθεί σε τετραγωνικά χιλιόμετρα.

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/blog-post_2001.html

Λύση

Θα καλυφθεί μια έκταση 3.185χλμ^2. Μετατρέπουμε τα 70εκ*70εκ= 4.900εκ^2 επιφάνειας που αναλογεί σε κάθε άτομο, σε τετραγωνικά χιλιόμετρα.
4.900:100.000^2= 4.900: 10.000.000.000=0,00000049χλμ^2
6.500.000.000*0,00000049=3.185χλμ^2