Ματ σε Δύο

Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.

(Σ.45/Ε)

Λύση

Κλειδί:1.Ββ5!(zz),Ρ:Ιε4 2.Βε2#
1….,Ρ:Ιε6 2.Βε8#
Σχόλιο: Δύο συμμετρικά ηχώ – ματ.

Το Σμήνος των Μελισσών

Κοίταξε αυτό το σμήνος των μυγών του μελιού.

Από το μισό του βγάλε τη τετραγωνική του ρίζα,

αυτή η συντροφιά τρυγάει σ’ ένα χωράφι γιασεμιών.

Τα οκτώ ένατα του συνόλου πετούν στον ουρανό.

Μία μονάχα μέλισσα ακούει μέσα σ’ ένα λωτό ένα

κηφήνα να βομβίζει, που παρασύρθηκε από την

ευωδιά τη τελευταία νύχτα και πιάστηκε στα δίχτυα του.

Πες μου, από πόσες μέλισσες αποτελείται η περιπλανώμενη αυτή παρέα; 

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.37) 

Πηγή: 
Το πρόβλημα αυτό έχει ληφθεί από μία μελέτη αριθμητικής με τίτλο«Lilavati», από τ’ όνομα της κόρης του, του Ινδού συγγραφέα, μαθηματικού και αστρονόμου του 12ου αιώνα,  Bhāskara II (1114-1185) ή Bhāskarāchārya (Bhāskara ο Σοφός).]

Λύση: 

Οι Μέλισσες

Το 1/5 από κάποιο σμάρι ήρθε και αναπαύθηκε στο λουλούδι του Κατάμπα, και το 1/3 ήρθε και αναπαύθηκε στο λουλούδι της Σιλίντα. Τρεις φορές η διαφορά τους πέταξε πάνω από το λουλούδι της Κρουτάγια, και στον αέρα μόνη έμεινε μια μέλισσα, παρασυρμένη από το άρωμα του γιασεμιού. Πες μου,όμορφή μου, πόσες ήταν οι μέλισσες στο σμάρι;
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.475)

Πηγή: 
Το πρόβλημα αυτό έχει ληφθεί από μία μελέτη αριθμητικής 

με τίτλο «Lilavati», από τ’ όνομα της κόρης του, του Ινδού 
συγγραφέα, μαθηματικού και αστρονόμου του 12ου αιώνα, 
 Bhāskara II (1114-1185) ή Bhāskarāchārya (Bhāskara ο Σοφός).]

Λύση

Παραθέτω τη λύση, όπως το έλυσε ο τακτικός λύτης Ν.Lntzs.
Το γραφείο τύπου της ομορφούλας εξέδωσε μια ανακοίνωση που περιέχει
την απάντησή της:
ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ
Ανακοίνωση:
Η όμορφη έκανε τις παρακάτω σκέψεις και πράξεις:
Έστω Χ οι μέλισσες που είχε το σμάρι. Τότε ολόκληρο το σμάρι των Χ
μελισσών ισούται με το άθροισμα των τριών τμημάτων του
[Χ/5 + Χ/3 + 3*(Χ/3-Χ/5)]και μία μέλισσα ακόμη.
Αυτό με μία εξίσωση γράφεται:
Χ=Χ/5 + Χ/3 + 3*(Χ/3-Χ/5)+1 ή
15Χ=3Χ+ 5Χ + 15Χ-9Χ+15 ή
Χ=15
Έκανε και την επαλήθευση
Το 1/5 του 15 είναι 3.
Το 1/3 του 15 είναι 5.
Τρεις φορές η διαφορά τους είναι 3*2=6 και μία (1) ακόμη.
Όλες μαζί τις βρήκε 3+5+6+1=15.
Με χαρά δίνει την απάντησή της:
"Ολες οι μέλισσες ήταν δεκαπέντε".
Για την πιστή αντιγραφή
του ΔΕΛΤΙΟΥ ΤΥΠΟΥ
Ο επί των Δημοσίων Σχέσων υπεύθυνος
Ν.Lntzs

Η Ηλικία

Ρώτησαν ένα μαθηματικό του 20ου αιώνα πόσων ετών είναι και αυτός απάντησε ως εξής:

• "Η τετραγωνική ρίζα του έτους που γεννήθηκα είναι ακριβώς ίση με τη σημερινή μου ηλικία."

Πόσων ετών ήταν, πότε γεννήθηκε και ποια χρονολογία έγινε η ρώτηση; 
(Κατ.10/Πρβλ. Νο.67)

Λύση

Διερεύνηση:
Εφόσον στην εκφώνηση αναφέρεται ότι ο μαθηματικός είναι του
20ου αιώνα η ηλικία του πρέπει να κυμαίνεται από 40 ετών έως
50 ετών, διότι κάτω απο 40 δεν έχει νόημα. Με δοκιμές βλέπουμε
ότι εάν είναι:
Η πρώτη στήλη είναι η προς διερεύνηση ηλικία.
Η δεύτερη στήλη είναι το έτος γεννήσεώς του.
Η τρίτη στήλη είναι το έτος που έγινε η ερώτηση.
Η τέταρτη στήλη είναι ο αίωνας στον οποίο ανήκει το έτος γέννησης
και ερωτήματος της ηλικίας του.
Η πέμπτη στήλη είναι η απόρριψη ή η αποδοχή της διερεύνησης.
40 ετών    40^2 = 1600   1600+40 = 1640   17ος αι.    Απορρίπτεται
41 ετών    41^2 = 1681   1681+41 = 1722   18ος αι.    Απορρίπτεται
42 ετών    42^2 = 1764   1764+42 = 1806   19ος αι.    Απορρίπτεται
43 ετών    43^2 = 1849   1849+43 = 1892   19ος αι.    Απορρίπτεται
44 ετών    44^2 = 1936   1936+44 = 1980   20ος αι.    Αποδεκτό
45 ετών    45^2 = 2025   2025+45 = 2070   21ος αι.    Απορρίπτεται
Επομένως είναι 44 ετών, γεννήθηκε το 1936, και ρωτήθηκε 44 έτη μετά
την γέννησή του δηλαδή το έτος 1980 (=1936+44), οι οποίες χρονολογίες
ανήκουν στον 20ο αιώνα.

Τα Αυγά

Μία χωρική πάει στη Λαϊκή για  να πουλήσει όσα αυγά είχε προς 0,50 λεπτά έκαστο. Επειδή όμως στη διαδρομή της έσπασαν 3 αυγά, για να μη ζημιωθεί, πούλησε τα υπόλοιπα προς 0,60 λεπτά έκαστο, ώστε να εισπράξει τα ίδια χρήματα που θα εισέπραττε εάν δεν της έσπαζαν τα τρία αυγά. Πόσα αυγά είχε στην αρχή; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.112)

Λύση

Είχε 18 αυγά. Έστω «α» τα αυγά που είχε στην αρχή Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
0,50*α=ω --> α= ω/0,50 (1)
(α-3)*0,60=ω(2)
Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε:
(α-3)*0,60=ω --> (ω/0,50 -3)*0,60=ω --> (ω-1,50)*0,60=0,50*ω -->
0,60ω-0,90=0,50ω --> 0,60ω-0,50ω=0,90 --> 0,10ω=0,90 -->
ω=0,90/0,10-->ω=9 (3)
Επαλήθευση:
α= ω/0,50 --> α=9/0,50 --> α=18
(α-3)*0,60=ω --> (18-3)*0,60=ω --> ω=15*0,60 --> ω=9 --> 0,50*α=ω -->
0,50*18=ω --> ω=9
Άρα είχε 18 αυγά και εισέπραξε 9 δρχ.

Το Ύφασμα

 

Το πλάτος ενός υφάσματος ορθογωνίου σχήματος αυξάνεται κατά 25%. Πόσο τοις εκατό πρέπει να μειωθεί το μήκος του, ώστε το εμβαδόν της επιφανείας του υφάσματος να μείνει το ίδιο; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.474)

Λύση

Παραθέτω τη λύση, όπως την έλυσε ο τακτικός λύτης του ιστολογίου
N.Lntzs.
΄Έστω α το πλάτος και β το μήκος του υφάσματος, τότε το εμβαδόν "Ε"
αυτού είναι: Ε= α*β (1)
Μετά την αύξηση κατά 25% το πλάτος θα γίνει
(100/100 + 25/100)*α=1,25*α
Αν ονομάσουμε χ% τη μείωση του μήκους, τότε αυτό θα γίνει
(100/100-χ/100)*β=(100-χ)*β/100.
Το εμβαδόν μετά τις μεταβολές του μήκους-πλάτους θα είναι:
Ε=1,25*α * (100 - χ)*β/100 (2)
Από τις (1),(2) προκύπτει:
α*β = 1,25*α * (100 - χ)*β/100 ή
1 =1,25 * (100 - χ)/100 ή
100=1,25 * (100 - χ) ή
100/1,25 = 100-χ
80 = 100-χ ή
χ=20.
Για να μείνει το ίδιο το εμβαδόν της επιφανείας του υφάσματος
πρέπει το μηκος να μειωθεί 20%.

Ματ σε Τέσσερις

Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε τέσσερις κινήσεις. 
(Σ.51/Η)

Λύση

Κλειδί:1.Αβ1!(zz),Ρδ4 2.Ρε6(zz),δ5 3.Πγ2!(zz),Ρε4 4.Πγ4#
Θέμα: «Ινδικό ή Ινδική Διατομή»
Ο Λευκός με τη κίνηση κλειδί περνάει το κρίσιμο τετράγωνο "γ2",
στ' οποίο θα πάει ο Πύργος σχηματίζοντας μια μπαταρία υποχρώνοντας
το Μαύρο Βασιλιά να πάει στο τετράγωνο "ε4" για να κάνει ματ στην
επόμενη κίνηση.