Δευτέρα, 11 Ιουνίου 2018

Ο Αριθμός

Εάν αρχίσεις μ’ έναν αριθμό, μετά αφαιρέσεις το ένα τρίτο του, μετά το ένα τέταρτο του, μετά το ένα πέμπτο του και μετά το 4 κι’ εάν μετά πολλαπλασιάσεις το αποτέλεσμα με τον εαυτό του, παίρνεις 12  παραπάνω από τον αρχικό αριθμό. Βρες το αριθμό.
Πηγή: Από το βιβλίο του Άραβα μαθηματικού Abu-Abdullah Mohammed ibn Musa Al-Khwarizmi (790-850μ.Χ.) με τίτλο: «Hisab al - jabr w ’ al - muqabala», 825μ.Χ.. (34 προβλήματα).

Λύση

Ο αριθμός είναι ο 56,723. Έστω «x» ο αριθμός. Βάσει των δεδομένων της εκφώνηση του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
[x-[(x/3)+(x/4)+(x/5)+4]]^2=x+12 (1)
[x-[(x/3)+(x/4)+(x/5)+4]]^2=x+12
[x-[(20x+15x+12x+4*60]/60]^2=x+12
[x-[(47x+240)/60]^2=x+12
[(60x-47x-240)/60]^2=x+12
[(13x-240)/60]^2=x+12
13^2x^2-2*13*240x+240^2/60^2=x+12
169x^2-6.240x+57.600/3.600=x+12
169x^2-6.240x+57.600=3.600(x+12)
169x^2-6.240x+57.600=3.600x+43.200
169x^2-6.240x+57.600-3.600x-43.200=0
169x^2-9.840x+14.400=0 (2)
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x = -β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α έχουμε:
x = -β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α --> x = 9.840±sqrt[(-9.840)^2-4*169*14.400]/2*169 --->
x = -9.840±sqrt[96.825.600-9.734.400]/338 --> x =[9.840±sqrt[(87.091.200)]/338 -->
x = (9.840±9.332)/338
x1=(45+5)/2 --> x1=50/2 --> x1=25
x2=(45-5)/2 --> x2=40/2 --> x2=20
x1=(9.840+9.332)/338 ----> x1=19.172/338 ----> x1=56,723
x2=(9.840-9.332)/338 ----> x2= 508/338 ----> x2=1,5029
Επαλήθευση:
[x-[(x/3)+(x/4)+(x/5)+4]]^2=x+12
[56,723-[(56,723/3)+(56,723/4)+(56,723/5)+4]]^2=56,723+12
[56,723-(18,91+14,18+11,35+4)]^2=68,723
(56,723-48,44)^2=68,723
8,283^2=68,723

2 σχόλια:

Γιάννης είπε...

Πολύ ξεχωριστό πρόβλημα που θα το δίναμε άνετα για λύση σε ένα μαθητή Β' Γυμνασίου, που ήθελε να ξεφύγει από τις τετριμμένες εξισώσεις του σχολικού βιβλίου.

Papaveri είπε...

Συμφωνώ απόλυτα μαζί σας. Τα προβλήματα που έθεταν προς λύση τον 8ο και 9ο αίωνα ήταν και είναι αξεπέραστα!!

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes