Τετάρτη, 19 Σεπτεμβρίου 2012

Τα Λάστιχα

 
Ένα καινούριο αυτοκίνητο έχει 5 λάστιχα (4 και μια ρεζέρβα). Το κάθε λάστιχο μπορεί να διανύσει 40.000χλμ και μετά πρέπει να αντικατασταθεί. Ο ιδιοκτήτης του αυτοκινήτου σκέφτεται ότι εάν αλλάξει κάθ’ ένα από τα τέσσερα με τη ρεζέρβα θα μπορέσει να διανύσει περισσότερο από 40.000χλ.
α) Κάθε πόσα χιλιόμετρα πρέπει να αλλάζονται τα λάστιχα; 
β) Εάν το αυτοκίνητο διανύσει 20.0000χλμ., είναι συμφέρουσα η εναλλαγή των λάστιχων; (Κατ.34/Νο.528)

Λύση

Λύση του N. Lntzs. Απάντηση σρο (α) ερώτημα: Επειδή κάθε λάστιχο έχει διάρκεια ζωής 40.000 Km, η συνολική διάρκεια ζωής, συμπεριλαμβανομένης και της ρεζέρβας, θα είναι 200.000 Km. Δοθέντος ότι στην κίνηση μετέχουν τέσσερα λάστιχα, το όχημα δύναται να διανύσει 50.000 Km. Τούτο μπορεί να επιτευχθεί με εναλλαγή της ρεζέρβας κάθε 10.000 Km με κάθε λάστιχο. Αναλυτικά τα Km σε χιλιάδες για κάθε λάστιχο στις θέσεις ΜΑ(μπροστά αριστερά) ΜΔ(μπροστά δεξιά) ΠΑ(πίσω αριστερά) ΠΔ(πίσω δεξιά) και ΡΕ(ρεζέρβα) αντίστοιχα είναι: Για τα πρώτα 10.000 Km ΜΑ=10, ΜΔ=10, ΠΑ=10, ΠΔ=10, ΡΕ=0. Για τα επόμενα 10.000 Km και την 1η εναλλαγή στο ΜΑ λάστιχο, ΜΑ=10, ΜΔ=20, ΠΑ=20, ΠΔ=20, ΡΕ=10. Για τα επόμενα 10.000 Km και την 2η εναλλαγή στο ΜΔ λάστιχο, ΜΑ=20, ΜΔ=20, ΠΑ=30, ΠΔ=30, ΡΕ=20. Για τα επόμενα 10.000 Km και την 3η εναλλαγή στο ΠΑ λάστιχο, ΜΑ=30, ΜΔ=30, ΠΑ=30, ΠΔ=40, ΡΕ=30. Για τα επόμενα 10.000 Km και την 4η εναλλαγή στο ΠΔ λάστιχο, ΜΑ=40, ΜΔ=40, ΠΑ=40, ΠΔ=40, ΡΕ=40. Απάντηση στο β) ερώτημα Εχω μια απάντηση σε αυτό, αλλά δεν την αναφέρω, επειδή ο χώρος των σχολίων είναι μικρός (πR Fermat). Απάντηση στο (β) ερώτημα. To όχημα με εναλλαγή των λάστιχων,δύναται να διανύσει 46.666,666 Km. Τούτο μπορεί να επιτευχθεί με εναλλαγή της ρεζέρβας κάθε 20/3 = 6+2/3 δεκάδες χιλ Km με κάθε λάστιχο. Η διαδικασία είναι η ίδια όπως και στο ερώτηνα α) ερώτημα. Τα πρώτα 20.000 Km έγιναν χωρίς αλλαγή. ΜΑ=20, ΜΔ=20, ΠΑ=20, ΠΔ=20, ΡΕ=0. Για τα επόμενα 6+2/3 χιλ Km και την 1η εναλλαγή στο ΜΑ λάστιχο, ΜΑ=6+2/3 ΜΔ=26+2/3 ΠΑ=26+2/3 ΠΔ=26+2/3 ΡΕ=20. Για τα επόμενα 6+2/3 χιλ Km και την 2η εναλλαγή στο ΜΔ λάστιχο, ΜΑ=13+1/3, ΜΔ=26+2/3, ΠΑ=33+1/3, ΠΔ=33+1/3, ΡΕ=26+2/3. Για τα επόμενα 6+2/3 χιλ Km και την 3η εναλλαγή στο ΠΑ λάστιχο, ΜΑ=20, ΜΔ=33+1/30, ΠΑ=33+1/3, ΠΔ=33+1/3, ΡΕ=33+1/3. Για τα επόμενα 6+2/3 χιλ Km δεν απιτείται αλλαγή στο ΠΔ λάστιχο, ΜΑ=26+2/3, ΜΔ=40, ΠΑ=40, ΠΔ=40, ΡΕ=33+1/3. Σύνολο διανυθέντων Km 20+(6+2/3)+(6+2/+(6+2/3)+(6+2/3)= 46+2/3 χιλ Km =46.666,666 χιλ Στo ερώτημα αν συμφέρει η εναλλαγή των λάστιχων, δοθέντος ότι τα λάστιχα έχουν κάνει 20.000 Km, θα απαντούσα όχι αν το επόμενο βουκανιζατέρ βρίσκεται σε απόσταση μικρότερη των 20 χιλ.Km. Σίγουρα ναι, αν το επόμενο βουκανιζατέρ βρίσκεται σε απόσταση μεγαλύτερη των 20 και μικρότερη των 26,66 χιλ.Km Και μάλλον ναι αν βρισκόταν σε απόσταση μεγαλύτερη των 26.66 που μπορεί να αντέξουν τα λάστιχα.

10 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Απάντηση σρο α) ερώτημα:
Επειδή κάθε λάστιχο έχει διάρκεια ζωής 40.000 Km, η συνολική διάρκεια ζωής, συμπεριλαμβανομένης και της ρεζέρβας, θα είναι 200.000 Km.
Δοθέντος ότι στην κίνηση μετέχουν τέσσερα λάστιχα, το όχημα δύναται να διανύσει 50.000 Km.
Τούτο μπορεί να επιτευχθεί με εναλλαγή της ρεζέρβας κάθε 10.000 Km με κάθε λάστιχο.
Αναλυτικά τα Km σε χιλιάδες για κάθε λάστιχο στις θέσεις
ΜΑ(μπροστά αριστερά)
ΜΔ(μπροστά δεξιά)
ΠΑ(πίσω αριστερά)
ΠΔ(πίσω δεξιά) και
ΡΕ(ρεζέρβα)
αντίστοιχα είναι:

Για τα πρώτα 10.000 Km
ΜΑ=10, ΜΔ=10, ΠΑ=10, ΠΔ=10, ΡΕ=0.

Για τα επόμενα 10.000 Km και την 1η εναλλαγή στο ΜΑ λάστιχο,
ΜΑ=10, ΜΔ=20, ΠΑ=20, ΠΔ=20, ΡΕ=10.

Για τα επόμενα 10.000 Km και την 2η εναλλαγή στο ΜΔ λάστιχο,
ΜΑ=20, ΜΔ=20, ΠΑ=30, ΠΔ=30, ΡΕ=20.

Για τα επόμενα 10.000 Km και την 3η εναλλαγή στο ΠΑ λάστιχο,
ΜΑ=30, ΜΔ=30, ΠΑ=30, ΠΔ=40, ΡΕ=30.

Για τα επόμενα 10.000 Km και την 4η εναλλαγή στο ΠΔ λάστιχο,
ΜΑ=40, ΜΔ=40, ΠΑ=40, ΠΔ=40, ΡΕ=40.

Απάντηση στο β) ερώτημα
Εχω μια απάντηση σε αυτό, αλλά δεν την αναφέρω, επειδή ο χώρος των σχολίων είναι μικρός (πR Fermat).

Ν. Lntzs

Ανώνυμος είπε...

@Ν. Lntzs

Περιμένετε να το απαντήσει κάποιος άλλος?(πάντως ο fermat μας δούλευε ψιλό-γαζί)

batman1986

Papaveri είπε...

@batman1986
Το νόημα στο σχόλιο (β) του Ν.Lntzs
έχει άλλο νόημα που σχετίζεται με το Fermat.

Ανώνυμος είπε...

Προφανώς και το κατάλαβα αφού το σχολιάζει και ο ίδιος.Απλά νόμιζα ότι το άφησε αναπάντηντο για κανάν άλλο...

batman1986

Ανώνυμος είπε...

Τώρα που διάβασα και τη λύση βλέπω ότι είναι αδύνατον οπότε οκ

batman1986

Ανώνυμος είπε...

Απάντηση στο β) ερώτημα.

To όχημα με εναλλαγή των λάστιχων,δύναται να διανύσει 56.666,666 Km.
Τούτο μπορεί να επιτευχθεί με εναλλαγή της ρεζέρβας κάθε 20/3 = 6+2/3 δεκάδες χιλ Km με κάθε λάστιχο.
Η διαδικασία είναι η ίδια όπως και στο ερώτηνα α) ερώτημα.

Τα πρώτα 20.000 Km έγιναν χωρίς αλλαγή.

ΜΑ=20, ΜΔ=20, ΠΑ=20, ΠΔ=20, ΡΕ=0.

Για τα επόμενα 6+2/3 χιλ Km και την 1η εναλλαγή στο ΜΑ λάστιχο,
ΜΑ=6+2/3 ΜΔ=26+2/3 ΠΑ=26+2/3 ΠΔ=26+2/3 ΡΕ=20.

Για τα επόμενα 6+2/3 χιλ Km και την 2η εναλλαγή στο ΜΔ λάστιχο,
ΜΑ=13+1/3, ΜΔ=26+2/3, ΠΑ=33+1/3, ΠΔ=33+1/3, ΡΕ=26+2/3.

Για τα επόμενα 6+2/3 χιλ Km και την 3η εναλλαγή στο ΠΑ λάστιχο,
ΜΑ=20, ΜΔ=33+1/30, ΠΑ=33+1/3, ΠΔ=33+1/3, ΡΕ=33+1/3.

Για τα επόμενα 6+2/3 χιλ Km δεν απιτείται αλλαγή στο ΠΔ λάστιχο,
ΜΑ=26+2/3, ΜΔ=40, ΠΑ=40, ΠΔ=40, ΡΕ=33+1/3.

Σύνολο διανυθέντων Km
20+(6+2/3)+(6+2/+(6+2/3)+(6+2/3)= 46+2/3 χιλ Km =46.666,666 χιλ

Στo ερώτημα αν συμφέρει η εναλλαγή των λάστιχων, δοθέντος ότι τα λάστιχα έχουν κάνει 20.000 Km, θα απαντούσα όχι αν το επόμενο βουκανιζατέρ βρίσκεται σε απόσταση μικρότερη των 20 χιλ.Km.
Σίγουρα ναι, αν το επόμενο βουκανιζατέρ βρίσκεται σε απόσταση μεγαλύτερη των 20 και μικρότερη των 26,66 χιλ.Km
Και μάλλον ναι αν βρισκόταν σε απόσταση μεγαλύτερη των 26.66 που μπορεί να αντέξουν τα λάστιχα.

Ν.Lntzs

Ανώνυμος είπε...

Διόρθωση
Η πρώτη γραμμή της απ΄ντησης στο ερώτημα β) αντικαθίσταται με την
To όχημα με εναλλαγή των λάστιχων,δύναται να διανύσει 46.666,666 Km.
Ν.L.

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Επί της (φυσικής κι όχι της μαθηματικής) ουσίας βέβαια, όλες οι απαντήσεις είναι λάθος!
Είναι γνωστό ότι αν βάλεις στη μια άκρη ενός άξονα ένα καινούργιο λάστιχο ,αφήνοντας στην άλλη το παλιό, το παλιό θα φθαρεί πολύ ταχύτερα απότι με δύο ίδιας κατάστασης ελαστικά!
Άρα, για να λυθεί το πρόβλημα πρέπει να ξέρουμε το ρυθμό φθοράς του ζευγαριού της ρεζέρβας κάθε φορά . Έστω οτι είναι σταθερά dπ/dt (όπου π ίσον η περιφέρεια του ελαστικού που βαίνει μειούμενη λόγω της φθοράς)
Εναλλακτικά και dR/dt (με R=ακτίνα).
Έχω μια θαυμάσια λύση για τη σχετική διαφορική εξίσωση που προκύπτει, αλλά δεν προλαβαίνω να τη γράψω γιατί πρέπει να πάω για ύπνο! :-)

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Θα περιμένω την απάντησή σου.

batman1986 είπε...

Aφού έχετε όλοι όρεξη για πλάκα ας περιμένουμε να δούμε τι θα πει και αυτός :)

http://en.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes