Το Ινδικό Καλάμι (Μπαμπού) και η Λίμνη

Σε μια κυκλικής λίμνη, με διάμετρο ΟΒ = 10μ., φυτρώνει ένα καλάμι 
που εξέχει από το νερό στο σημείο "Ν" 1μ. Όταν το καλάμι λυγίσει,
στο σημείο "Ν", τότε η κορυφή του εφάπτεται με τη περίμετρο της 
λίμνης (όχθη). Να υπολογισθούν τα εξής μεγέθη:

α) Το βάθος της λίμνης (ΝΚ) και β) Το ύψος του καλαμιού (ΑΚ).

(Κατ.34/Πρβ. Νο.264)

Πηγή: 

Το ανωτέρω πρόβλημα, το οποίο εκδόθηκε από τον Tsin – Kin – Tschaou το 

1250 π.Χ., προέρχεται από το Κινέζικο μαθηματικό σύγγραμμα του 2600 π.Χ.  

K’iu - Ch’ang Suan –  Shu – ts’au – t’u (Αριθμητική σ’ εννέα ενότητες). 

Χρονολογείται, στη περίοδο της δυναστείας Hun (Χαν), 206 π.Χ.- 220 μ.Χ., 

αναθεωρημένη επανέκδοση, κατά το 3^ο με 2^ο αιώνα π.Χ. Περιέχει μια

συλλογή 246 προβλημάτων (γεωμετρικών, τοπογραφικών,οικονομικών, 

αλγεβρικών, αριθμητικών και λογιστικών. Η 9^η ενότητα αναφέρεται στο 

ορθογώνια τρίγωνα).

Λύση

Έστω ΑΚ το ύψος του καλαμιού, ΑΒ η θέση της κορυφής όταν λυγίσει το
καλάμι, (ΟΒ)=10μ. η νοητή διάμετρος της λίμνης με Ν το σημείο όπου
εξέχει το καλάμι από τη λίμνη,(ΝΑ) =1μ. το τμήμα που εξέχει από την
επιφάνεια της λίμνης και(ΝΚ)=α μέτρα το βάθος της λίμνης. Το τρίγωνο
(ΑΚΒ) είναι ισοσκελές με(ΑΚ)=(ΚΒ)=(α+1)μ. Το δε τρίγωνο ΝΚΒ είναι
ορθογώνιο με (ΝΚ) = α μέτρα,(ΝΒ)=5μ. και(ΚΒ)=(α+1)μ. Βλέπε εικόνα
ανωτέρω. Βάσει του τύπου Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:
(ΝΚ)^2+(ΝΒ)^2=(ΚΒ)^2 --> α^2+5^2=(α + 1)^2 --> α^2+25=α^2+2α+1 -->
2α = α^2-α^2+25–1 --> 2α=24 --> α=24/2 --> α=12 .
Άρα το βάθος της λίμνης είναι(ΝΚ)=12μ. Και το ύψος του καλαμιού είναι
(ΑΚ)=(ΑΝ)+(ΝΚ)=1+α=1+12 --> ΑΚ) =13μ. ο.ε.δ.
Το πρόβλημα αυτό παρουσιάζει όχι μόνο πρακτικό ενδιαφέρον, αλλά και
θεωρητικό (Αριθμοθεωρητικό), γιατί στο ορθογώνιο τρίγωνο εμφανίζεται η
Πυθαγόρεια Τριάδα α=12, β=5 και γ=13. Από αυτό συνάγουμε το
συμπέρασμα(;),ότι οι Κινέζοι γνώριζαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα και τις
Πυθαγόρειες Τριάδες πριν το Πυθαγόρα.