Οι Διαδοχικοί Αριθμοί

Το άθροισμα επτά αλληλοδιαδόχων αριθμών ισούται με 126. Ποιοι είναι οι διαδοχικοί αυτοί αριθμοί; Υπάρχουν τρεις τρόποι για να λυθεί το πρόβλημα. Να βρεθούν και οι τρεις τρόποι.(Κατ.3/Πρβ. Νο.3)

Λύση

Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
α΄Τρόπος Λύσης
α+(α+1)+ (α+2)+ (α+3)+ (α+4)+ (α+5)+(α+6)=126 (1)
α+α+1+α+2+α+3+α+4+α+5+α+6=126
7α+21=126 --> 7α=126-21 --> α=105/7 --> α=15 (2)
Αντικαθιστούμε την (2) στην (1) κι’ έχουμε:
α+(α+1)+ (α+2)+ (α+3)+ (α+4)+ (α+5)+(α+6)=126
15+(15+1)+(15+2)+ (15+3)+ (15+4)+ (15+5)+(15+6)=126
Άρα η σειρά είναι:15+16+17+18+19+20+21=126 ο.ε.δ.
β΄Τρόπος Λύσης
Βάσει του τύπου του αθροίσματος της αριθμητικής προόδου Σο=[(α+τ)*ν]/2
έχουμε:
Σο= Συνολικό άθροισμα της αριθμητικής προόδου.
α = Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου.
τ = Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου.
ν = Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου.
Σο=[(α+τ)*ν]/2-->126=[(α+τ)*7]/2-->
(α+τ)=(126*2)/7=252/7-->(α+τ)=36-->α=(36-τ)(1)
και τ=(36-α)(2)
Από το τύπο τ =[α+[(ν-1)*ω]] της αριθμητικής προόδου βρίσκουμε
το πρώτο και το τελευταίο αριθμό της αριθμητικής σειράς.
τ = Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου.
α = Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου.
ν = Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου.
ω = Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται εις έναν
όρο δια να δώσει τον επόμενο.
Αντικαθιστούμε τη (2) στον ανωτέρω τύπο όπου βρίσκουμε το πρώτο όρο
της αριθμητικής σειράς:
τ=[α+[(ν-1)*ω]]-->36-α=[α+[(7-1)*1]]-->36-α=α+6-->
36-6=α+α-->2α=30-->α=30/2-->α=15
Άρα η σειρά είναι 15+16+17+18+19+20+21=126 ο.ε.δ.
γ΄Τρόπος Λύσης
Διαιρούμε το συνολικό άθροισμα με το πλήθος των όρων της σειράς και το
πηλίκο μας δίνει το μεσαίο αριθμό της σειράς, δηλαδή 126:7=18.
Για να συμπληρώσουμε τη σειρά επιλέγουμε 3 αριθμούς προς τ’ αριστερά
κατά τη φθίνουσα σειρά και 3 αριθμούς προς τα δεξιά κατά την αύξουσα
σειρά κι έχουμε: 15+16+17+18+19+20+21 =126 ο.ε.δ.

Ένα Πρόβλημα Χρημάτων

Ο κ. Παπαδόπουλος  τηλεφωνεί στην κόρη του  την Μαρία και της ζητεί να του αγοράσει ορισμένα είδη που χρειάζεται για ένα ταξίδι. Την πληροφορεί ότι θα βρει τα χρήματα σε έναν φάκελο που βρίσκεται επάνω στο τραπέζι του γραφείου του. Η Μαρία πηγαίνει στο γραφείο και παίρνει το φάκελο που γράφει απ’ έξω 98. Μέσα υπάρχει ένας σωρός από χαρτονομίσματα και αρκετά κέρματα . Η Μαρία πηγαίνει σε ένα σουπερμάρκετ και αγοράζει πράγματα αξίας 90 ευρώ, αλλά όταν έρχεται η στιγμή να πληρώσει διαπιστώνει ότι όχι μόνο δεν της μένουν 8 ευρώ, αλλά και ότι τα χρήματα ούτε καν επαρκούν. Δεδομένου ότι ο αριθμός που υπήρχε το φάκελο όντως ανταποκρινόταν στο ποσό των χρημάτων που βρισκόταν  μέσα σε αυτόν, μπορείτε να  εξηγήσετε τι συνέβη. (Κατ.27/Πρβ. Νο.324)

Πηγή:  
http://mathhmagic.blogspot.com/2011/10/blog-post_05.html

Λύση

Στο φάκελο απ’ έξω έγραφε 86, αλλά η Μαρία διάβασε το αριθμό ανάποδα.
Ο αριθμός στο φάκελο όπως ήταν τοποθετημένος επάνω στο γραφείο
διαβαζόταν ως 98. Δεν τον άνοιξε για να επιβεβαιώσει το ποσόν, γι' αυτό
και είχε το έλλειμμα των 4€. Εάν στρέψουμε τον αριθμό 98 κατά 180
μοίρες προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού τότε θα διαβάσουμε τον
αριθμό 86.

Η Εξίσωση

Η ανωτέρω εξίσωση είναι προφανώς λανθασμένη. Μπορεί, όμως, να διορθωθεί με δύο μικρές αλλαγές. Ποιες είναι αυτές οι αλλαγές; (Κατ.27/Πρβ. Νο.323)

Την ιδέα του ανωτέρω γρίφου μου την έδωσε ο φίλος του ιστολογίου batman1986

Λύση

Υψώνουμε τους δύο παράγοντες του πρώτου μέλους της εξίσωσης στη μηδενική κι’
έχουμε:
25x25=1-->25^0x25^0=1-->1x1=1
25x25=1-->25x25^(-1)=1-->25x(1/25)=1 ο.ε.δ.

Η Αντιστοιχία

Οι αξία των τεσσάρων ζώων (πρόβατο, κόκορας, σπίνος, αγελάδα) σε ένα χωριό της Νάξου, δίνεται από τις ανωτέρω ισότητες (όπως φαίνεται στο σχήμα). Βρείτε ποια σχέση υπάρχει μεταξύ της Αγελάδας και του Σπίνου. (Κατ.9Α΄/Πρβ. Νο.10)

Πηγή: http://lisari.blogspot.com/2010/07/part-ii_11.html

Λύση

Η αξία της αγελάδας είναι ίση με 8 σπίνους. Έστω «α» το πρόβατο, «β»
ο κόκορας, «γ» ο σπίνος και «δ» η αγελάδα. Βάσει των δεδομένων της
εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α + β + γ = δ(1)
2β + γ = α(2)
2γ = β (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
2β + γ = α --> [(2*2γ) + γ] = α --> 4γ + γ = α --> α = 5γ(4)
Αντικαθιστούμε τη (3) και τη (4) στην (1) κι’ έχουμε:
α + β + γ = δ --> 5γ + 2γ + γ = δ --> δ = 8γ (5) …
Άρα από τ’ ανωτέρω συμπεραίνουμε ότι:
α)Η αξία του προβάτου ισούται με 5 σπίνους.
β)Η αξία του κόκορα ισούται με 2 σπίνους
γ)Η αξία της αγελάδας ισούται με 8 σπίνους.
Επαλήθευση:
α+β+γ=δ-->5γ+2γ+γ=δ-->8γ=δ-->8σπίνοι=αγελάδα.
2β+γ=α-->[(2*2γ)+γ]=α-->4γ+γ=α-->5γ=α-->5σπίνοι=πρόβατο.
2γ=β-->2σπίνοι=κόκορας ο.ε.δ.

Ο Έμπορος

Ένας έμπορος μπαχαρικών  ανακάτεψε 350 κιλά πιπέρι Α΄ διαλογής, που του κόστισε 9,20€ το κιλό, με 450 κιλά πιπέρι Β΄ διαλογής, που του κόστισε 8,40€ το κιλό. Το μίγμα αυτό το πούλησε ως εξής:

• Τα 2/5 του μίγματος προς 12€ το κιλό.

• 180 κιλά του μίγματος προς 11€ το κιλό.

• Και το υπόλοιπο μίγμα προς 10,60€ το κιλό.

Να υπολογίσετε τα κάτωθι:

• Πόσο του κόστισε το κιλό το μίγμα;
• Πόσα χρήματα κέρδισε από την πώληση;
• Πόσο τοις εκάτό κέρδισε επί της τιμής του κόστους;
• Πόσο τοις εκατό κέρδισε επί της τιμής της πώλησης; 

(Κατ.34/Πρβ. Νο. 466)

Λύση

Α)Κόστος Μίγματος:
Α΄Διαλογή:350kg.*9,20€ = 3.220€
Β΄Διαλογή: 450Kg.*8,40€ = 3.780€
Σύνολο: 800Kg,*8,75€= 7.000€
Επομένως, το κάθε κιλό κόστισε :7.000/800= 8,75€
Β) Κέρδος:
α) Πώληση: 800Kg.*2/5=320Kg.*12€=3.840€
β)Πώληση:180Kg.*11€=1.980€
γ)Πώληση:(800Kg.-320Kg.-180Kg.)*10,60€=300Kg.*10,60€=3.180€
Σύνολο: 800Kg. *11,25 =9.000€
Συνολικό Κέρδος = Είσπραξη – Κόστος = 9.000€-7.000€=2.000 €.
Γ) Κέρδος τοις % επί της τιμής του κόστους:
Κατάταξη:
Στις 7.000€ κέρδισε 2.000€
στα 100€ κέρδισε x; €
x=(100*2.000)/7.000-->x=(100*2)/7-->x=200/7-->x=28.57%
Δ)Κέρδος τοις % επί της τιμής της πώλησης:
Κατάταξη:
Στις 9.000€ κέρδισε 2.000€
στα 100€ κέρδισε x; €
x=(100*2.000)/9.000-->x=(100*2)/9-->x=200/9-->x=22.22%

Ο Διψήφιος Αριθμός

 

Να βρεθεί ένας διψήφιος ακέραιος αριθμός, που να ισούται με το επταπλάσιο του αθροίσματος των ψηφίων του. (Κατ.26/Πρβ. Νο.2)

Λύση

Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 21, 42, 63 και 84. Έστω "αβ" ο ζητούμενος διψήφιος αριθμός, ο οποίος παριστάνεται (10α+β). Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
10α+β=7(α+β)--> 10α+β=7α+7β-->10α-7α=7β-β-->3α=6β--> α=6β/3-->α=2β
Διερεύνηση:
Δίδοντας στο "β" τις τιμές από το 1 έως το 4, λόγω του ότι από 5 και άνω έχουμε τριψήφιους αριθμούς, βλέπουμε ότι το πρόβλημα έχει 4 λύσεις:
Με β = 1 --> α = 2β --> α = 2*1 --> α = 2
Με β= 2 --> α = 2β --> α = 2*2 --> α = 4
Με β = 3 --> α = 2β --> α = 2*3 --> α = 6
Με β = 4 --> α = 2β --> α = 2*4 --> α = 8
Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι: 21, 42, 63, 84, που αποτελούν
αριθμητική πρόοδο με λόγο τον αριθμό 21.

Ο Ελαιοπαραγωγός

Ένας ελαιοπαραγωγός συγκέντρωσε μια ποσότητα από ελιές, τις οποίες έδωσε στο ελαιοτριβείο για να τις μετατρέψει σε λάδι. Με το λάδι που πήρε από το ελαιοτριβείο γέμισε 5 βαρέλια των 148κιλών και 5 τενεκέδες των 17κιλών. Πόσα κιλά ελιές συγκέντρωσε και πόσα κιλά λάδι πήρε από το ελαιοτριβείο; (Κατ.34/Πρβ. Νο.465)

Δεδομένα:

Α)Τα 20,50κιλά ελιές παράγουν 5κιλά λάδι.

Β)Το ελαιοτριβείο ως αμοιβή κρατάει 2,50κιλά λάδι για κάθε 30κιλά λαδιού 
    που παράγει.  

Λύση

Συγκέντρωσε 3.382,50κιλά ελιές και παρέλαβε από το ελαιοτριβείο
756,25κιλά λάδι. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος:

α)Βρίσκουμε πόσα κιλά λάδι πήρε ο ελαιοπαραγωγός από το ελαιοτριβείο,
με τ’ οποίο γέμισε 5 βαρέλια των 148κιλών έκαστο και 5 τενεκέδες των
17κιλών έκαστο:
Βαρέλια: 5*148 = 740κιλά λάδι.
Τενεκέδες: 5*17 = 85κιλά λάδι.
Σύνολο: 825κιλά λάδι.
Για να συμπληρώσει την πόσότητα των 825κιλών λαδιού πρόσθεσε απο
απόθεμα που είχε 68,75κιλά λάδι, την αμοιβή του ελαιοτριβείου.

β)Βρίσκουμε πόσα κιλά ελιές μάζεψε ο ελαιοπαραγωγός:
Κατάταξη:
Τα 20,50κιλά ελιές παράγουν 5κιλά λάδι.
x; κιλά ελιές παράγουν 825κιλά λάδι.
x =(825*20,50)/5=16.912,50/5=3.382,50κιλά ελιές.

γ)Βρίσκουμε την αμοιβή που παίρνει το ελαιοτριβείο για τη παραγωγή
του λαδιού.
Κατάταξη:
Για κάθε 30κιλά λάδι που παράγει το ελαιοτριβείο αμείβεται με 2,50κιλά λάδι.
Για τα 825κιλά λάδι που παρήγαγε το ελαιοτριβείο με x;κιλά λάδι θ’ αμειφθεί.
x =(825*2,50)/30=2.062,50/30=68,75κιλά λάδι.
Ο ελαιοπαραγωγός παρέλαβε απο το ελαιοτριβείο 825-68,75 = 756,25κιλά λάδι.