Οι Αριθμοί

Πόσοι και ποιοι τετραψήφιοι αριθμοί έχουν άθροισμα ψηφίων 34; (Κατ.34)

Πηγή:http://www.cms.org.cy/assets/files/Eparxiakos%202013/E%20Demotikou%20Eparxiakos%20Solutions%202013-14.pdf

Λύση

Ο αριθμός 34 σχηματίζεται από τ’ αθροίσματα (16+18) και (17+17). Αναλυτικά:
α)34= 16+18=[(9+7=16)+(9+9=18)]. Άρα έχουμε: 9997, 9979, 9799, και 7999.
β)34=17+17=[(9+8=17)+(9+8=17)]. Άρα έχουμε: 8899, 9898, 8989, 9988, 8998, και 9889.

Οι Καραμέλες ΙΙΙ

Δύο φίλοι, ο Γιάννης και ο Βαγγέλης, έχουν ένα κουτί με καραμέλες. Ο Γιάννης παίρνει από το κουτί κάποιες καραμέλες, και από αυτές που πήρε κρατάει τα 3/4 και τις υπόλοιπες, από αυτές που πήρε, τις δίνει στο Βαγγέλη. Στη συνέχεια ο Βαγγέλης παίρνει τις υπόλοιπες καραμέλες που έμειναν στο κουτί, κρατάει το 1/12 και δίνει στο Γιάννη τις υπόλοιπες. Αν σε κάθε μοιρασιά ο καθένας παίρνει ακέραιο αριθμό από καραμέλες και τελικά οι καραμέλες του Γιάννη είναι εξαπλάσιες από τις καραμέλες του Βαγγέλη, να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό από καραμέλες που μπορεί να περιέχει το κουτί. (Κατ.34)

Πηγή:76ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ”

Λύση

Έστω ότι το Γιάννης παίρνει «γ» καραμέλες από τις οποίες κρατάει τα 3γ/4 και δίνει στο Βαγγέλη τα γ/4. Επειδή ο καθένας έχει ακέραιο αριθμό καραμελών σε αυτή τη μοιρασιά, πρέπει το «γ» να είναι πολλαπλάσιο του 4.
Έστω ότι ο Βαγγέλης παίρνει «β» καραμέλες, κρατάει τα β/12 και δίνει στο Γιάννη τα 11β/12. Επειδή ο καθένας έχει ακέραιο αριθμό καραμελών σε αυτή τη μοιρασιά, πρέπει το «β» να είναι πολλαπλάσιο του 12.
Ο Γιάννης, λοιπόν, έχει:
(3γ/4)+(11β/12)=(3*3γ+11β)/12= (9γ+11β)/12 καραμέλε.
Και ο Βαγγέλης, έχει:
(γ/4)+(β/12)= (3γ+β)/12 καραμέλες.
Αφού ο Γιάννης θα έχει τελικά εξαπλάσιες καραμέλες από το Βαγγέλη έχουμε την εξίσωση:
(9γ+11β)=6*(3γ+β) (1)
(9γ+11β)=6*(3γ+β) ---> 9γ+11β=18γ+6β ---> 11β-6β=18γ-9γ ---> 5β=9γ (2)
Διερεύνηση:
Οι ελάχιστοι θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες είναι γ=20 και β=36, οπότε το κουτί περιέχει τουλάχιστον καραμέλες.
Επαλήθευση:
(9γ+11β)=6*(3γ+β) ---> 9*20+11*36=6*(3*20+36) ---> 180+396=6*(60+36) ---> 576=6*96
5β=9γ ---> 5*36=9*20 ---> 180=9*20

Η Έρευνα

Για την εκτέλεση ενός μεγάλου ερευνητικού έργου στο προαπαιτούμενο χρονικό όριο, ξεκίνησαν να εργάζονται συνολικά 500 ερευνητές. Όταν τελείωσε στην ώρα του το 1/4 του έργου, αποχώρησαν 100 ερευνητές, οπότε το δεύτερο τέταρτο του έργου ολοκληρώθηκε με καθυστέρηση. Αποχώρησαν όμως τότε και άλλοι 100 ερευνητές, οπότε το τρίτο τέταρτο του έργου ολοκληρώθηκε με επιπλέον καθυστέρηση. Πόσοι ερευνητές πρέπει να προσληφθούν, ώστε το έργο να τελειώσει στον  προγραμματισμένο χρόνο. 
Διευκρίνιση: 
Υποθέτουμε ότι όλοι οι ερευνητές που εργάστηκαν και εργάζονται, αλλά και 
αυτοί που θα προσληφθούν, δούλευαν και δουλεύουν με την ίδια απόδοση. (Κατ.34)

Πηγή: 76ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ”

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου
Αφού στο 1ο τέταρτο του έργου δούλεψαν όλοι οι ερευνητές, το έργο ολοκληρώθηκε στην ώρα του και έστω ότι χρειάστηκαν χρόνο t, άρα όλο το έργο είχε προγραμματισθεί για χρόνο 4t . Στο 2ο τέταρτο του έργου σε χρόνο t πραγματοποιήθηκε το 400/500=4/5 του προγραμματισμένου, άρα για την ολοκλήρωση του 2ου τέταρτου χρειάσθηκε χρόνος 5t/4. Στο 3ο τέταρτο του έργου σε χρόνο t πραγματοποιήθηκε το 300/500=3/5 του προγραμματισμένου, άρα για την ολοκλήρωση του 3ου τέταρτου χρειάσθηκε χρόνος 5t/3. Άρα για τα 3/4 όλου του έργου ο χρόνος είναι t*(1+5/4+5/3)=47t/12, άρα απομένει χρόνος 4t-47t/48= (48-47)t/12=t/12, άρα χρειάζονται, για την εκτέλεση του 4ου τέταρτου, 12*500=6.000 ερευνητές, άρα χρειάζεται να προσληφθούν 6.000-300=5.700 ερευνητές.
Λύση του Ανώνυμος
Για το 1ο τέταρτο εργάστηκαν 500=Ψ ερευνητές και χρειάστηκαν χρόνο Χ. Για το 2ο τέταρτο εργάστηκαν 4Ψ/5 και επομένως χρειάστηκαν χρόνο 5Χ/4. Για το 3ο τέταρτο εργάστηκαν 3Ψ/5 και επομένως χρειάστηκαν χρόνο 5Χ/3. Για το 4ο τέταρτο διαθέτουν χρόνο 3Χ-5Χ/4-5Χ/3=(36Χ-15Χ-20Χ)/12=Χ/12 και χρειάζονται συνεπώς 12Ψ=12*500=6.000 ερευνητές, θα πρέπει δηλαδή να προσληφθούν 6.000-300=5.700 ερευνητές.

Οι Καραμέλες ΙΙ

Το σημερινό πρόβλημα αποτελεί τροποποίηση του προβλήματος Οι Καραμέλες   από τον φίλο της ιστοσελίδας «Ανώνυμος» που το πρότεινε.

Τρία παιδιά μοιράζονται σε ίσες ποσότητες πάνω από τις μισές καραμέλες ενός κουτιού, που το πλήθος τους είναι ένας τριψήφιος αριθμός. Αυτός ο αριθμός έχει το ψηφίο των δεκάδων του κατά 2 μονάδες μεγαλύτερο από το ψηφίο των μονάδων του και το ψηφίο των εκατοντάδων του διπλάσιο από το ψηφίο των μονάδων του. Την άλλη μέρα, τρία άλλα παιδιά ξανακάνουν μια ίδια μοιρασιά με όλες τις καραμέλες που είχαν περισσέψει. Πόσες καραμέλες είχε αρχικά το κουτί; 

Παραλλαγή: 

Μάλιστα, το τροποποιημένο πρόβλημα θα ήταν πιο αληθοφανές, αν στον τριψήφιο αντιμεταθέταμε τον αριθμό των μονάδων και τον αριθμό των εκατοντάδων. Δηλ. αν έλεγε ότι ο αριθμός των δεκάδων είναι κατά 2 μονάδες μεγαλύτερος από τον αριθμό των εκατοντάδων και ο αριθμός των μονάδων διπλάσιος από τον αριθμό των εκατοντάδων.(Κατ.34)

Λύση

Λύση του "Ανώνυμου"
Αν Χ είναι το ψηφίο των μονάδων τότε των δεκάδων είναι Χ+2 και των εκατοντάδων 2Χ. Για να διαιρείται ο τριψήφιος με το 3 πρέπει το άθροισμα των ψηφίων του να διαιρείται με το 3, άρα πρέπει 4Χ+2 να διαιρείται με το 3 και το Χ μπορεί να είναι το 4 ή το 1 καθώς το 2Χ πρέπει να είναι μικρότερο από 10. Οι δυνατοί τριψήφιοι είναι επομένως ο 864 και ο 231 και τα πρώτα 3 παιδιά μοιράζονται τις 864 καραμέλες και τα επόμενα τις υπόλοιπες 231. Το κουτί περιείχε λοιπόν 231+864=1.095 καραμέλες.
Παραλλαγή:
Στο συμμετρικό πρόβλημα οι τριψήφιοι είναι ο 468 και ο 132 και οι αρχικές καραμέλες του κουτιού 468+132=600.

Οι Καραμέλες

Πέντε παιδιά μοιράζονται σε ίσες ποσότητες όλες τις καραμέλες ενός κουτιού, που το πλήθος τους είναι ένας τριψήφιος αριθμός. Αυτός ο αριθμός έχει το ψηφίο των δεκάδων του κατά 3 μονάδες μεγαλύτερο από το ψηφίο των μονάδων του και το ψηφίο των εκατοντάδων του διπλάσιο από το ψηφίο των δεκάδων του. Πόσες καραμέλες έχει το κουτί. (Κατ.34)

Πηγή:http://users.sch.gr/mipapagr/images/eme_diagwn_dim_st_mathpaixnidi_2016_lyseis.pdf

Λύση

Το κουτί έχει 630 καραμέλες. Το ψηφίο των μονάδων του αριθμού θα είναι 0 ή 5. Αν είναι 5 τότε το ψηφίο των δεκάδων θα είναι 5+3=8 και οι εκατοντάδες του θα είναι 2*8 = 16 άτοπο, εφόσον ο ζητούμενος αριθμός είναι τριψήφιος. Άρα το ψηφίο των μονάδων του είναι 0, των δεκάδων του 0 + 3 =3 και των εκατοντάδων του 3*2 = 6. Επομένως ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 630.

Η Ταχύτητα

Δύο ποδηλάτες, ο Ανδρέας και ο Βασίλης, βρίσκονται σε απόσταση 344χιλιόμετρα μεταξύ τους. Ξεκινούν την ίδια ώρα και κινούνται ο ένας προς τον άλλο με σταθερή ταχύτητα και συναντιούνται σε 4 ώρες. Εάν ο Βασίλης ξεκινούσε 15 λεπτά μετά τον Ανδρέα, σε 4 ώρες, από την ώρα που ξεκίνησε ο Ανδρέας, θα βρίσκονταν σε απόσταση 10χιλιομέτρων. Να βρείτε τις ταχύτητες των δύο ποδηλατών. (Κατ.34)

Πηγή:http://www.cms.org.cy/assets/files/Pagkiprios%202013/Pagkiprios%20St%20Demotikou%202013%20Liseis.pdf

Λύση

Η ταχύτητα των δύο ποδηλατών είναι Βασίλης 40χλμ και Ανδρέας 46χλμ. Εάν ο Βασίλης ξεκινούσε 15 λεπτά μετά τον Ανδρέα, θα βρίσκονταν σε απόσταση 10χλμ, οπότε η ταχύτητα του Βασίλη είναι:
Κατάταξη:
Ο Βασίλης σε 15λ καλύπτει απόσταση 10χλμ.
Σε 60λ πόση απόσταση (χ;) καλύπτει;
χ=(60*10)/15 ---> χ=600/15 ---> χ=40χλμ.
Εάν ξεκινούσαν μαζί θα συναντιούνταν σε 4 ώρες, οπότε ο Βασίλης θα κάλυπτε απόσταση 4*40 =160χλμ. και ο Αντρέας θα κάλυπτε απόσταση 344-160=184χλμ. Έτσι η ταχύτητα του Ανδρέα είναι 184:4=46χλμ. και του Βασίλη 40χλμ.

Η Παρέα

Μια παρέα από αγόρια έκοψαν μήλα από τον κήπο του Αντρέα. Το κάθε αγόρι έκοψε από 3 μήλα. Αργότερα ήρθαν στη παρέα τους ακόμα 3 αγόρια. Ενώ ήθελαν να μοιραστούν τα μήλα που έκοψαν, παίρνοντας ο καθ’ ένας ίσον αριθμό μήλων, διαπίστωσαν ότι δεν μπορούσαν να το κάνουν. Ένα από τ’ αγόρια μαρτύρησε ότι έκοψε ένα μήλο περισσότερο. Τώρα μπορούσαν να πάρουν όλοι από 2 ακριβώς μήλα. Να βρείτε πόσα ήταν τ’ αγόρια στην αρχική παρέα. (Κατ.34)

Πηγή: Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία, Παγκύπριος Διαγωνισμός Δεκέμβριος, 2014

Λύση

Στην αρχική παρέα υπήρχαν 5 αγόρια. Έστω «x» ο αριθμός των αγοριών της αρχικής παρέας. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
3x+1=2*(x+3) ---> 3x+1=2x+6 ---> 3x-2x=6-1 ---> x=5
Επαλήθευση:
3x+1=2*(x+3) ---> 3*5+1=2*(5+3) ----> 15+1=2*8 ---> 16=2*8

Οι Αριθμοί

Εάν ένας αριθμός «x» αυξηθεί κατά  «y%» γίνεται 30, ενώ αν αυξηθεί ο «y» κατά «x%» γίνεται 25. Να βρείτε τους αριθμούς «x» και  «y». (Κατ.34)

Πηγή:http://www.cms.org.cy/assets/files/Pagkiprios%202013/Pagkiprios%20A%20Likeiou%202013%20Liseis.pdf

Λύση

Οι αριθμοί είναι x=25 και y=20. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
x+(x*y)/100=30 (1)
y+(y*x)/100=25 (2)
Αφαιρούμε κατά μέλη τις εξισώσεις (1) και (2) κι’ έχουμε :
x+(x*y)/100=30
-y-(y*x)/100= -25
x-y=5 ---> x=y+5 (3)
Αντικαθιστούμε την (3) στην (1) κι’ έχουμε:
x+(x*y)/100=30 ---> y+5+[(y+5)*y]/100=30 ----> 100y+5*100+y^2+5y=30*100 ---> 100y+500+y^2+5y=3.000 ---> y^2+105y=3.000-500 ---> y^2+105y=2.500 ---> y^2+105y-2.500=0 (4)
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x= [-b+/-sqrt[(b)^2-4ac)]]/2a έχουμε:
x= [-b+/-sqrt[(b)^2-4ac)]]/2a ---> x= [-105+/-sqrt[(105)^2-4*1*(-2.500)]]/2*1 ---> x= [-105+/-sqrt[11.025+10.000]]/2 ---> x= [-105+/-sqrt[21.025]]/2 ---> x= (-105+/-145)/2 (5)
Από την οποία παίρνουμε τις εξής ρίζες:
y1= (-105+145)/2 ---> y1=40/2 ---> y1=20 (6)
y2=(-105-145)/2 ---> y2= -250/2 ---> y2= -125
Αντικαθιστούμε την (6) στη (3) κι’ έχουμε:
x=y+5 ---> x=20+5 ----> x=25 (7)
Επαλήθευση:
x+(x*y)/100=30 ---> 25+(25*20)/100=30 ---> 25+500/100=30 ---> 25+5=30
y+(y*x)/100=25 ---> 20+(20*25)/100=25 ---> 20+500/100=25 ---> 20+5=25