Οι Καραμέλες ΙΙΙ

Δύο φίλοι, ο Γιάννης και ο Βαγγέλης, έχουν ένα κουτί με καραμέλες. Ο Γιάννης παίρνει από το κουτί κάποιες καραμέλες, και από αυτές που πήρε κρατάει τα 3/4 και τις υπόλοιπες, από αυτές που πήρε, τις δίνει στο Βαγγέλη. Στη συνέχεια ο Βαγγέλης παίρνει τις υπόλοιπες καραμέλες που έμειναν στο κουτί, κρατάει το 1/12 και δίνει στο Γιάννη τις υπόλοιπες. Αν σε κάθε μοιρασιά ο καθένας παίρνει ακέραιο αριθμό από καραμέλες και τελικά οι καραμέλες του Γιάννη είναι εξαπλάσιες από τις καραμέλες του Βαγγέλη, να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό από καραμέλες που μπορεί να περιέχει το κουτί. (Κατ.34)

Πηγή:76ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ”

Λύση

Έστω ότι το Γιάννης παίρνει «γ» καραμέλες από τις οποίες κρατάει τα 3γ/4 και δίνει στο Βαγγέλη τα γ/4. Επειδή ο καθένας έχει ακέραιο αριθμό καραμελών σε αυτή τη μοιρασιά, πρέπει το «γ» να είναι πολλαπλάσιο του 4.
Έστω ότι ο Βαγγέλης παίρνει «β» καραμέλες, κρατάει τα β/12 και δίνει στο Γιάννη τα 11β/12. Επειδή ο καθένας έχει ακέραιο αριθμό καραμελών σε αυτή τη μοιρασιά, πρέπει το «β» να είναι πολλαπλάσιο του 12.
Ο Γιάννης, λοιπόν, έχει:
(3γ/4)+(11β/12)=(3*3γ+11β)/12= (9γ+11β)/12 καραμέλε.
Και ο Βαγγέλης, έχει:
(γ/4)+(β/12)= (3γ+β)/12 καραμέλες.
Αφού ο Γιάννης θα έχει τελικά εξαπλάσιες καραμέλες από το Βαγγέλη έχουμε την εξίσωση:
(9γ+11β)=6*(3γ+β) (1)
(9γ+11β)=6*(3γ+β) ---> 9γ+11β=18γ+6β ---> 11β-6β=18γ-9γ ---> 5β=9γ (2)
Διερεύνηση:
Οι ελάχιστοι θετικοί ακέραιοι που ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες είναι γ=20 και β=36, οπότε το κουτί περιέχει τουλάχιστον καραμέλες.
Επαλήθευση:
(9γ+11β)=6*(3γ+β) ---> 9*20+11*36=6*(3*20+36) ---> 180+396=6*(60+36) ---> 576=6*96
5β=9γ ---> 5*36=9*20 ---> 180=9*20