Το PIN

Κάποιος ξέχασε το κωδικό (Pin), με τ’ οποίο επαναφέρει σε λειτουργία το κινητό του. Θυμάται όμως ότι εάν  διαιρεθεί ο κωδικός με το 131 αφήνει υπόλοιπο 112,  ενώ εάν διαιρεθεί με το 132 αφήνει υπόλοιπο  98. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να θυμηθεί το κωδικό του, λόγω του ότι πρέπει να τηλεφωνήσει κάπου επειγόντως για μια επείγουσα εργασία; (Κατ.5/Νο.81)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2014/04/pin.html

Λύση

Ο κωδικός είναι ο αριθμός 1946. Έστω Κ ο κωδικός (PIN). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: Διαιρετέος (Δ) = διαιρέτης (δ) * πηλίκο (π) + υπόλοιπο (υ) Κ= [(δ*π)+υ]=[(δ*π)+υ], όπου «π» αριθμός θετικός και ακέραιος. [(δ*π)+υ]=[(δ*π)+υ] --> [(131*π)+112]=[(132*π)+98] --> 132*π-131*π=112-98 --> π=14 Επαλήθευση: Κ= [(δ*π)+υ]=[(δ*π)+υ] --> Κ= [(131*14)+112]=[(132*14)+98] --> Κ=1834+112=1848+98]=1946 ο.ε.δ. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Έχουμε το σύστημα των modular εξισώσεων: x=112 mod(131) x=98 mod(132) Θεώρημα Κινέζικου υπολοίπου ΜΚΔ (131,132)=1 131*132=17292 x = a1(132y1) + a2(131y2) (y1=1 ,y2=-1 από Ευκλείδειο αλγόριθμο) x = 112 * 132 * 1 + 98 * 131 *(-1) x = 14784 - 12838 x = 1946 (λογικό Πιν! για κάποιον γεννημένο το 1946) ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ: 1946 ≡ 112 mod 131 ( 131 x 14 = 1834+112=1946) 1946 ≡ 98 mod 132 (132 x 14 = 1848+98=1946)