Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί "x" και "y" που ικανοποιούν την ανωτέρω
Λύση
Εάν x>0 και y>0, τότε οι αριθμοί 2^x, 4^y είναι και οι δύο άρτιοι,
οπότε δεν μπορεί το άθροισμά τους να είναι ο περιττός αριθμός 1025.
Άρα τουλάχιστον ένας εκ των x ή y είναι 0.
α) Έστω x = 0, τότε έχουμε:
2^x+4^y = 1.025 --> 2^0+4^y = 1.025 --> 4^y = 1.025-2^0 -->
4^y =1.025-1 --> 4^y =1.024 --> 4^5 =1.024
Δηλαδή βρήκαμε την λύση x = 0, y = 5.
β) Έστω y = 0, τότε έχουμε:
2^x+4^y = 1.025 --> 2^x+4^0 = 1.025 --> 2^x =1.025-4^0 -->
2^x =1.025-1 --> 2^x =1.024 --> 2^10 =1.024
Δηλαδή βρήκαμε την λύση x = 10, y = 0.
Αναρτήσεις
6 σχόλια:
x=10 και y=0 ή
x=0 και y=5
@Gian^2i$
Συγχαρητήρια!! Η απάντηση σας είναι σωστή.
Η λύση θα επιμείνω ότι δεν είναι ολοκληρωμένη...
Πρέπει να την δικαιολογήσουμε ως εξής:
Το 2 και το 4 είναι άρτιοι αριθμοί, όπως και το 2^x και 4^y για x, y μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς, είναι άρτιοι αριθμοί.
Τότε το 2^x + 4^y θα ήταν άρτιος αριθμός, άτοπο αφού το 1025 είναι περιττός.
Οπότε πρέπει ένας από τους δύο να είναι περιττός, το 2^x είναι περιττός όταν x =0 άρα y = 5,
ή
ο 4^y είναι περιττός, δηλ. για y=0 άρα x=10.
Νομίζω ότι αυτή θεωρείται μια πλήρης δικαιολόγηση της άσκησης...
@Χατζόπουλος Μάκης
Μάκη, όταν κάποιος δεν έχει χρόνο, και ιδίως στην σημερινή εποχή μας των διπλών ταχυτήτων, δεχόμαστε τη λύση έστω και σε λακωνική μορφή, που σημαίνει ότι ο λύτης γνωρίζει την ανάλυση σε βάθος, αρκεί να είναι σωστή.
Το δέχομαι αν και δεν συμφωνώ, αν δεν έχουμε χρόνο απλά μην την γράψουμε, πάντα κατά την γνώμη μου.
Και εγώ στο blog μου την δέχομαι, χωρίς να σημαίνει ότι μένω και σε αυτήν την απάντηση...
Μια απάντηση δεν δείχνει την γοητεία της άσκησης, που κατά την γνώμη μου τεράστια είναι η πορεία λύσης, τι λες; Μια απάντηση ποιον κερδίζει ή κέρδισαν τα Μαθηματικά;
Ποιο πολύ θα εκτιμούσα να μου έγραφαν την σκέψη, πχ. το πρώτο μέλος είναι άρτιος ενώ το δεύτερο περιττός και να σταματούσαν εκεί, χωρίς να έδιναν την απάντηση που απαιτεί και χρόνο, παρά το αντίθετο.
Δεν αφήνω υπονοούμενα για κανένα, απλά με αφορμή αυτό το γράφω...
Φυσικά εσύ είσαι το αφεντικό και λειτουργείς με τους δικού σου κανόνες, απλά καταθέτω την γνώμη μου, αν επιτρέπεται...
Φιλικά,
Μάκης
@ @Χατζόπουλος Μάκης
Συμφωνώ μαζί σου σε όσα λες. Φρονώ, όμως, ότι όσοι συμμετέχουν το κάνουν για να ξεφύγουν λίγο από τη καθημερινότητα και από τα τόσα προβλήματα που συσσωρεύονται καθημερινά γι' αυτό και δεν έχουν και πολύ διάθεση για να κάτσουν να γράψουν. Κι' εγώ στην ιστοσελίδα "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" βλέπω αυτό το φαινόμενο και μάλιστα κάποιον τον προκάλεσα να γράψει πλήρη τη λύση και όχι μονολεκτικά. Δύο είναι οι σημαντικοί λόγοι που οι περισσότεροι γράφουν μονολεκτικά τη λύση, ο ένας αυτός που ανέφερα και ο άλλος γιατί βαριούνται να γράψουν τύπους, εξισώσεις κλπ.
Φιλικά,
Carlo
Δημοσίευση σχολίου