Η Αγορά

 Κάποιος αγόρασε 120 αντικείμενα συνολικής αξίας 120δρχ, εκ των οποίων αλλά μεν αντικείμενα στοιχίσανε 2δρχ. το καθ’ ένα, άλλα δε αντικείμενα στοιχίσανε 3δρχ. το καθ’ ένα και τα υπόλοιπα αντικείμενα στοιχίσανε 0,50δρχ. το καθ’ ένα. Πόσα αντικείμενα αγόρασε από το κάθε είδος. (Κατ,34/Πρβ. Νο.452)

Λύση

Το πρόβλημα επιδέχεται επτά λύσεις. Έστω «α» τα αντικείμενα των 2δρχ.,
«β» τα αντικείμενα των 3δρχ. και «γ» τα αντικείμενα της 0,50δρχ. Βάσει
των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α+β+ω = 120 (1)
2α+3β+0,50ω = 120 (2)
Δηλαδή ένα σύστημα δύο εξισώσεων με τρεις αγνώστους, που πρέπει να
είναι ακέραιοι αριθμοί. Λύνουμε την (1) ως προς "α" κι’ έχουμε:
α+β+ω = 120 --> α=[120-(β+ω)] (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
2α+3β+0,50ω = 120 --> 2[120-(β+ω)]+3β+0,50ω = 120 -->
2(120-β-ω)+3β+0,50ω = 120 --> 240-2β-2ω+3β+0,50ω=120 -->
240+β-1,50ω=120 --> β= -240+1,50ω+120 --> β=1,50ω-120 (4)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την
διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Η μικρότερη τιμή που μπορεί να
δοθεί στο «ω» είναι ω=120/1,50 =80
Αντικαθιστούμε τη τιμή του "ω" στη (4) κι’ έχουμε:
β=1,50ω-120 --> β=(1,50*80)-120 --> β=120-120 --> β =0
Αντικαθιστούμε τις τιμές "β" και "ω" στη (3) κι’ έχουμε:
α=[120-(β+ω)] --> α=[120-(80+0)] --> α=120-80 --> α = 40
Επειδή το «β» πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός, μπορούμε να λάβουμε τις
κάτωθι τιμές για το «ω»:
ω = 82,84,86,88,90,92,94,96
Για τιμή του «ω» μεγαλύτερη του 96, η πρώτη εξίσωση δεν δίνει αποδεκτή
τιμή του «α». Συνεπώς το πρόβλημα επιδέχεται τις ακόλουθες λύσεις:
Μεταβλητή:α=40,35,30,25,20,15,10,5,0(Φθίνουσα σειρά με λόγο το 5)
Μεταβλητή: β=0,3,6,9,12,15,18,21,24 (Αύξουσα σειρά με λόγο το 3)
Μεταβλητή: ω=80,82,84,86,88,90,92,94,96(Αύξουσα σειρά με λόγο το 2)
Οι έντονες χρωματιστές τιμές των μεταβλητών δεν μπορούν να γίνουν
αποδεκτές,λόγω του ότι δύο μεταβλητές έχουν τιμή μηδέν, πράγμα που
αντβαίνει στη συνθήκη του προβλήματος επειδή πραγματοποιήθηκαν
αγορές στις δύο αυτές μεταβλητές.
Επαλήθευση:
α+β+ω = 120 --> 35+3+82 = 120
2α+3β+0,50ω = 120 --> (2*35)+(3*3)+(0,50*82)=120 --> 70+9+41=120 ο.ε.δ.