Το Ύφασμα

Τέσσερα μέτρα ενός υφάσματος στοιχίζουν ακριβώς τόσο, όσα μέτρα από το ίδιο ύφασμα θα μπορούσε κανείς ν’ αγοράσει με 4.900 δρχ. Πόσο στοιχίζει το μέτρο; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.124)

Λύση

Το ύφασμα στοιχίζει 35δρχ. το μέτρο. Έστω «α»δρχ. το κόστος του
μέτρου του υφάσματος. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του
προβλήματος έχουμε:
4α=4.900:α --> 4*α*α=4.900 --> 4α^2=4.900
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στη τετραγωνική ρίζα:
sqrt(4α^2)= sqrt(4.900) --> 2α = 70 --> α = 70/2 --> α = 35

Ματ σε Τρεις

Παίζουν τα Μαύρα και κάνουν ματ σε τρεις κινήσεις.

Το πρόβλημα αυτό θυμίζει μια σύνθεση ενός Ρώσου συνθέτη με αντίστροφα χρώματα των κομματιών και να παίζουν τα Λευκά τη πρώτη κίνηση. Θα το αναρτήσω μετά τη λύση του δοθέντος προβλήματος. 
Διευκρίνιση:
Τα Λευκά κομμάτια κατεβαίνουν, ενώ τα Μαύρα κομμάτια ανεβαίνουν.

 Λύση
1....,Αγ3!(zz) 2.β:Α,Ργ1(zz) 3.γ4,Ιγ2#
A. V. Galitzky
1.Αζ6!(zz),η:Α 2.Ρζ8,ζ5 3.Ιζ7±.
Α. Gouliaev
1.Ργ3!(zz),β2=Β/Ι+ 2.Ιγ2+/Ργ2+,Β:Ι+/Ιγ3 3.Ρ:Β+/Α:Ι±.

Στο Καζίνο

Κάποιος πάει στο καζίνο για να παίξει στη ρουλέτα. Πριν μπει μέσα βλέπει ένα νεαρό που πουλούσε εφημερίδες, τον πλησιάζει του δίνει 1,00€ και του λέει:

-«Εάν διπλασιάσω τα χρήματα μου φεύγοντας θα σου δώσω άλλο 1,00€.»

Πράγματι, διπλασιάζει τα χρήματα και φεύγοντας δίνει 1,00€ στο νεαρό που του είχε υποσχεθεί.

Πάει σ’ ένα άλλο καζίνο για να παίξει στη ρουλέτα. Πριν μπει μέσα βλέπει έναν άλλο νεαρό που πουλούσε εφημερίδες, τον πλησιάζει του δίνει 1,00€ και του λέει:

-«Εάν διπλασιάσω τα χρήματα μου φεύγοντας θα σου δώσω άλλο 1,00€.»

Πράγματι, διπλασιάζει τα χρήματα και φεύγοντας δίνει 1,00€ στο νεαρό που του είχε υποσχεθεί.

Πάει σ’ ένα άλλο καζίνο για να παίξει στη ρουλέτα. Πριν μπει μέσα βλέπει έναν άλλο νεαρό που πουλούσε εφημερίδες, τον πλησιάζει του δίνει 1,00€ και του λέει:

-«Εάν διπλασιάσω τα χρήματα μου φεύγοντας θα σου δώσω άλλο 1,00€.»

Πράγματι, διπλασιάζει τα χρήματα και φεύγοντας δίνει 1,00€ στο νεαρό που του είχε υποσχεθεί. Τελικά έμεινε χωρίς χρήματα.

Πόσα χρήματα είχε όταν πήγε στο πρώτο καζίνο για να παίξει στη ρουλέτα;
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.473)

Λύση

Είχε 2,625€. Έστω «x» τα χρήματα που είχε πριν μπει στο καζίνο.
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
A΄Καζίνο με x€
Δίνει 1,00€ στο παιδί πριν μπει στο καζίνο και του μένουν (x-1)€
Παίζει στη ρουλέτα και διπλασιάζει το ποσό που είχε όταν μπήκε 2*(x-1)-->
(2x-2)€.
Βγαίνοντας από το καζίνο δίνει το 1,00€ που υποσχέθηκε στο παιδί,
εάν διπλασίαζε το ποσό που είχε, και του μένουν [(2x-2)-1]-->(2x-3)€.
Β΄Καζίνο με (2x-3)€
Δίνει 1,00€ στο παιδί πριν μπει στο καζίνο και του μένουν [(2x-3)-1] -->
(2x-4)€.
Παίζει στη ρουλέτα και διπλασιάζει το ποσό που είχε όταν μπήκε
2*(2x-4) --> (4x-8)€.
Βγαίνοντας από το καζίνο δίνει το 1,00€ που υποσχέθηκε στο παιδί,
εάν διπλασίαζε το ποσό που είχε, και του μένουν [(4x-8)-1] --> (4x-9)€.
Γ΄Καζίνο με (4x-9)€
Δίνει 1,00€ στο παιδί πριν μπει στο καζίνο και του μένουν [(4x-9)-1] -->
(4x-10)€.
Παίζει στη ρουλέτα και διπλασιάζει το ποσό που είχε όταν μπήκε
2*(4x-10) --> (8x-20)€.
Βγαίνοντας από το καζίνο δίνει το 1,00€ που υποσχέθηκε στο παιδί,
εάν διπλασίαζε το ποσό που είχε, και του μένουν [(8x-20)-1] --> (8x-21)€.
Επειδή έμεινε χωρίς χρήματα έχουμε την εξίσωση:
(8x-21) = 0 --> 8x = 21 --> x=21/8 --> x =2,625€
Επαλήθευση:
x =2,625€
(x-1) --> 2,625-1=1,625€
(2x-2) --> [(2*2,625)-2] = 5,25-2 = 3,25€
(2x-3) --> [(2*2,625)-3] = 5.25-3 = 2,25€
(2x-4) --> [(2*2,625)-4] = 5,25-4 = 1,25€
(4x-8) --> [(4*2,625)-8] = 10,50-8 = 2,50€
(4x-9) --> [(4*2,625)-9] = 10,50-9 = 1,50€
(4x-10) --> [(4*2,625)-10] = 10,50-10 = 0,50€
(8x-20) --> [(8*2,625)-20] = 21-20 = 1,00€
(8x-21) --> [(8*2,625)-21] = 21-21 = 0,00€ ο.ε.δ.

Ματ σε Τέσσερις

Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε τέσσερις κινήσεις.

(Σ.53/Α)

Λύση

Kλειδί:1.Αγ3!(zz),Ρε3 2.Ρη2(zz),Ρε4(εάν 2....,Ρε2 3.Πε1#)
3.Ρη3(zz),Ρε3 4.Πε1#

Οι Μετεξεταστέοι

Από τους 120 μαθητές ενός σχολείου τον Ιούνιο πέρασαν οι 70 

και οι υπόλοιποι 50 έμειναν μετεξεταστέοι για τον Σεπτέμβριο. 

Η ανακοίνωση για τους μετεξεταστέους, που ανέφερε πόσοι 

έμειναν σε κάθε μάθημα και σε πια μαθήματα, έχει ως κάτωθι:

• 36 μαθητές στα Αρχαία Ελληνικά. 

• 35 μαθητές στην Πληροφορική. 

• 40 μαθητές στα Μαθηματικά. 

• 42 μαθητές στην Ιστορία. 

Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός μαθητών που έχει μείνει και  

στα τέσσερα μαθήματα? (Κατ.33/Πρβλ. Νο.20)  

Λύση

 
Παραθέτω τη λύση που έστειλε ο τακτικός λύτης του ιστολογίου
N. Lntzs περιληπτικά:
1)Από τους 50 μαθητές οι 36 θα διαγωνισθούν στα Αρχαία Ελληνικά,
οπότε 14 μαθητές δεν θα διαγωνισθούν στο μάθημα αυτό (50-36=14).
2)Από τους 50 μαθητές οι 35 θα διαγωνισθούν στη Πληροφορική,
οπότε 15 μαθητές δεν θα διαγωνισθούν στο μάθημα αυτό (50-35=15).
3)Από τους 50 μαθητές οι 40 θα διαγωνισθούν στα Μαθηματικά,
οπότε 10 μαθητές δεν θα διαγωνισθούν στο μάθημα αυτό (50-40=10).
4)Από τους 50 μαθητές οι 42 θα διαγωνισθούν στην Ιστορία,
οπότε 8 μαθητές δεν θα διαγωνισθούν στο μάθημα αυτό (50-42=8).
Άρα το άθροισμα αυτών ανέρχεται σε 14+15+10+8=47 μαθητές από το
σύνολο των 50 μαθητών οι 3 μαθητές θα διαγωνισθούν και στα τέσσερα
μαθήματα(50-47=3).

Η Ισότητα

Η ανωτέρω ισότητα προφανώς δεν ισχύει. Μπορεί όμως να ισχύσει, εάν προσθέσετε μια γραμμή. (Κατ.27/Πρβλ. Νο.325)

Λύση

α)Μετατρέπουμε τους αραβικούς αριθμούς σε ρωμαϊκούς.
6 = 1 --> VI = I
β)Παίρνουμε τον λατινικό αριθμό «I» από το δεύτερο μέλος της εξίσωσης
και το τοποθετούμε επάνω απο τον λατινικό αριθμό «VI» σχηματίζοντας
την τετραγωνική ρίζα του 1 κι’ έχουμε ως αποτέλεσμα τον αριθμό 1.
Βλέπε κατωτέρω εικόνα.

Οι Συνέταιροι

Δύο συνέταιροι οινοπαραγωγοί, ο Γιώργος και ο Νίκος, έχουν από κοινού ένα αμπέλι. Στο Γιώργο ανήκουν τα 3/8 του αμπελιού και στο Νίκο ανήκουν τα 5/8 του αμπελιού.

α) Για ν’ αγοράσουν λίπασμα πλήρωσαν και οι δύο μαζί 40.000δρχ. Πόσα χρήματα έδωσε ο κάθε συνέταιρος για ν’ αγοράσουν το λίπασμα;

β) Για να τρυγήσουν το αμπέλι, δούλεψαν οι ίδιοι κι’ ένας εργάτης. Και οι τρεις δούλεψαν το ίδιο εξ’ ίσου. Ο εργάτης για την εργασία του πληρώθηκε 16.000δρχ.

Πόσα χρήματα αναλογούν στο κάθε συνέταιρο για τη πληρωμή του εργάτη;

(Κατ.34/Πρβλ. Νο. 472)

Λύση

Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α) Για την αγορά του λιπάσματος, ο κάθε συνέταιρος πλήρωσε:
Γιώργος:(3*40.000)/8=120.000/8=15.000δρχ
Νίκος:(5*40.000)/8=200.000/8=25.000δρχ.
Σύνολο: 40.000δρχ.
β) Για τη πληρωμή του εργάτη, ο κάθε συνέταιρος πλήρωσε:
Λόγω του ότι δούλεψαν και οι τρεις μαζί εξ’ ίσου το κόστος των
ημερομισθίων για τον τρύγο ανέρχεται σε 3*16.000 = 48.000δρχ.
Στο Γιώργο αναλογούν:
(3*48.000)/8=3*6.000=18.000δρχ.
Επειδή όμως εργάσθηκε μια ημέρα, από το ανωτέρω ποσό αφαιρούμε
το ημερομίσθιο των 16.000δρχ. κι’ έχουμε:
18.000δρχ.-16.000δρχ. = 2.000δρχ.
Άρα στο Γιώργο αναλογούν 2.000δρχ. για να πληρώσει τον εργάτη.
Στο Νίκο αναλογούν:
(5*48.000)/8=5*6.000=30.000δρχ.
Επειδή όμως εργάσθηκε μια ημέρα, από το ανωτέρω ποσό αφαιρούμε
το ημερομίσθιο των 16.000δρχ. κι’ έχουμε:
30.000δρχ.-16.000δρχ. = 14.000δρχ.
Άρα στο Νίκο αναλογούν 14.000δρχ. για να πληρώσει τον εργάτη.