Παρασκευή, 1 Μαΐου 2015

Ο Χρωματισμός

Καθένα από τα 6 τετράγωνα, του ανωτέρω σχήματος, πρόκειται να τα χρωματισουμε με ένα από τα δέκα διαφορετικά χρώματα που έχουμε στη διάθεσή μας. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι χρωματισμού υπάρχουν τέτοιοι, ώστε να μην έχουμε δύο τετράγωνα με το ίδιο χρώμα; (Κατ.5/Νο.107)
Πηγή:«Συνδυαστική» του μαθηματικού Α. Κοπάδη

Λύση

Λύση του "Ανώνυμος"
Υπάρχουν 151.200 διαφορετικοί τρόποι.Ισχύει* ότι:
P(n, k)=n(n-1)(n-2)…(n-k+1) ---> P(n, k)=n!/(n-k)!. ---> P(10,6)=10!/(10-6)! ---> P(10,6)=10!/4! --->
P(10,6)= 1*2*3*4*5*6*7*8*10/1.2.3.4 ---> P(10,6)= 5*6*7*8*10 ---> P(10,6)=151.200
*: Η απόδειξη είναι αρκετά απλή. Για το πρώτο τετράγωνο έχουμε διαθέσιμα 10 χρώματα. Για το επόμενο έχουμε τα 9 που δεν χρησιμοποιήσαμε κ.ο.κ.

5 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

P(10,6)

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Σε προγενέστερο σχόλιο αναφέρθηκα στο θέμα της ανάλυσης στη λύση και όχι σ' ένα σχέτο αριθμό ως αποτέλεσμα. Θα ήθελα πλήρη λύση.

Ανώνυμος είπε...

Το P(10,6) που έγραψα στο προηγούμενο μήνυμά μου, είναι το πλήθος των διατάξεων 10 χρωμάτων σε 6 τετράγωνα, δηλαδή αυτό ακριβώς που ρωτάτε στο πρόβλημα.

Ανώνυμος είπε...

Ισχύει* ότι
P(n, k)=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)
ή P(n, k)=n!/(n-k)!.
Συνεπώς P(10,6)=151.200
*: Η απόδειξη είναι αρκετά απλή. Για το πρώτο τετράγωνο έχουμε διαθέσιμα 10 χρώματα. Για το επόμενο έχουμε τα 9 που δεν χρησιμοποιήσαμε κ.ο.κ.

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Δεν αντιλέγω σ' αυτό που γράψατε ότι δεν συμφωνεί με τα δεδομένα του προβλήματος. Αυτό που ζητούσα ήταν αυτή την ανάλυση που γράψατε.
Συγχαρητήρια! Ηαπάντησή σας είναι σωστή.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes