Παρασκευή 9 Σεπτεμβρίου 2011

Ο Διψήφιος Αριθμός


Να βρεθεί ένας διψήφιος αριθμός, έτσι ώστε το 1/2 του γινομένου των ψηφίων του να ισούται με το άθροισμα των ψηφίων του. 
(Κατ.34/Πρβ. Νο.453)

Λύση


Οι διψήφιοι αριθμοί είναι ο 63, ο 36 και ο 44. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α+β=(αβ)/2-->α=[(αβ)/2]-β-->α=(αβ-2β)/2-->α=[β(α-2)]/2(1)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε τη διερεύνηση των ριζών. Δίνοντας στο «α» τις τιμές από το 1 έως το 9, βλέπουμε ότι οι μοναδικές τιμές που ικανοποιούν τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό «β» είναι οι αριθμοί 4 και 6.
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «α» στην (1) κι’έχουμε:
α=[β(α-2)]/2--> 6=[β(6-2)]/2-->6=(4*β)/2-->6=2β-->β=6/2-->β=3(2)
α=[β(α-2)]/2-->4=[β(4-2)]/2-->4=(2*β)/2-->β= 4 (3)
Επαλήθευση:
α+β=(αβ)/2-->6+3=(6*3)/2-->6+3=18/2-->6+3=9
α+β=(αβ)/2-->4+4=(4*4)/2-->4+4=16/2-->4+4=8 ο.ε.δ.

4 σχόλια:

Μάκης Χατζόπουλος είπε...

Η λύση είναι μοναδική;

Ένας αριθμός είναι ο 36, ας δώσουμε την ευκαιρία να την προσπαθήσουν και άλλοι...

Όμορφη άσκηση και αυτή!!

Papaveri είπε...

@ Χατζόπουλος Μάκης
Να προσθέσω κι' έγω ότι και ο 63 είναι επίσης η λύση του.
Ναι, πράγματι είναι ωραία και βασίζεται στην διερεύνηση των ριζών.

Μάκης Χατζόπουλος είπε...

Τελικά τρεις είναι οι λύσεις, το 36, 44, 63!

Την δίνω!

Έστω ο διψήφιος αριθμός xy, όπου x,y φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε

0<x=<9 και 0=<y=<9

Τότε από τα δεδομένα έχουμε:

xy/2 = x + y

εύκολα καταλήγουμε

(x-2)(y-2)=4

άρα x-2 = 1 δηλ. x =3 και y = 6
ή x - 2 = 2 δηλ. x = 4 άρα y = 4
ή x - 2 = 4 δηλ. x = 6 άρα y = 3

Οπότε οι ζητούμενη αριθμοί είναι τρεις:

36, 44, 63

Gian^2i$ είπε...

Επίσης το 44 !

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes