Η Σφαίρα

 Εάν η ακτίνα μιας σφαίρας τριπλασιαστεί, τότε ο όγκος της θα αυξηθεί κατά 9 φορές;

(Κατ.27/Πρβλ. Νο.81)

Λύση

Λύση του batman1986.
Ο τύπος για τον όγκο είναι V=(4/3)π(ρ)^3
Άρα θέτοντας όπου ρ=3*ρ
εχουμε V*=(4/3)π(3ρ)^3=
27*{(4/3)π(ρ)^3}=27*V
άρα ο όγκος αυξάνεται κατά 27 φορές και όχι κατά 9...
Λύση του N. Lnzts.
Όχι. Η επιφάνεια 9/πλασιάζεται. Ο όγκος 27/πλασιάζεται.
Ο λόγος των όγκων ισούται με τον λόγο του κύβου των ακτίνων τους.
Και εφόσον ο λογος των ακτίνων είναι 1/3 ολόγος των όγκων τους είναι:
(1/3)^3=1/27.

Ματ σε Τέσσερις

Ένα πρόβλημα του Sam Loyd. Το πρόβλημα με το τίτλο "A Bold Attempt Is Half Success" - "Μια τολμηρή προσπάθεια, είναι το μισό της επιτυχίας"- δημοσιεύθηκε στην εφημερίδα New York Saturday Courier το 1856 κερδίζοντας το πρώτο βραβείο. Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε 4 κινήσεις.
(Ανθ. Σκακ. Παρ.1-Σ.14-Νο.289)

Λύση

Κλειδί:1.Βη1!,~ 2.Αζ2,~ 3.Α:β6,~ 4.Βγ5# Εάν
1....,Ιγ7 2.Ιβ4#
Διαπραγματεύεται το Θέμα: "Turtone".

Οι Διαδρομές

 Οι πόλεις που είναι μαρκαρισμένες στον ανωτέρω χάρτη συνδέονται μεταξύ τους ως εξής:

• Από το Παρίσι οδηγούν 5 διαφορετικοί δρόμοι για τις  Βρυξέλλες.

• Από τις  Βρυξέλλες οδηγούν 9 διαφορετικοί δρόμοι για τη Βιέννη.

• Από τη Βιέννη οδηγούν 7 διαφορετικοί δρόμοι για τη Βέρνη.

• Από τη Βέρνη οδηγούν 4 διαφορετικοί δρόμοι για το Παρίσι.

Με πόσες διαφορετικές διαδρομές μπορεί να φτάσει κανείς από το Παρίσι στη Βέρνη;

Διευκρίνιση:  

Η κάθε διαδρομή πρέπει να είναι διαφορετική από τις προηγούμενες.

(Κατ.27/Πρβλ. Νο.327)

Λύση

Λύση του N. Lntzs.
Βασική Αρχή Απαρίθμησης
Υποθέτουμε ότι ένα έργο μπορεί να ολοκληρωθεί σε ν στάδια.
Αν υπάρχουν κ1,κ2,...,κν τρόποι αντίστοιχα να εκτελέσουμε καθένα
από τα στάδια, τότε ο ολικός αριθμός Ν των διαφορετικών τρόπων,
με τους οποίους μπορεί να ολοκληρωθεί το έργο αυτό, δίνεται από
το γινόμενο N=κ1*κ2*...*κν.
Επομένως η διαδρομή Παρίσι-Βέρνη μπορεί να γίνει με 5*9*7=315
τρόπους. Αν συμπεριλάβουμε σε αυτές και τους 4 διαφορετικούς
δρόμους από τη Βέρνη για το Παρίσι, τότε οι διαφορετικές διαδρομές
που μπορεί να φτάσει κανείς από το Παρίσι στη Βέρνη είναι 319.

Ιδιαιτερότητες (Ρετρό-Ανάλυση)

α)Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε 3 κινήσεις.

β)Πως προέκυψε η ανωτέρω θέση;

β)Η ανωτέρω θέση μπορεί να προκύψει σε μια παρτίδα;

(Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.72/Νο.183γ)

Διαβάστε περισσότερα »

Ο Διψήφιος Αριθμός

Διψήφιου αριθμού το ψηφίο των δεκάδων είναι τα 2/3 του ψηφίου των μονάδων. Εάν αντιστρέψουμε τα ψηφία του αριθμού, ο νέος αριθμός είναι κατά 18 μονάδες μεγαλύτερος του αρχικού αριθμού. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; (Κατ.26/Πρβλ. Νο.21)

Λύση

Ο αριθμός είναι ο 46. Έστω ότι είναι α το ψηφίο των μονάδων,
το ψηφίο των δεκάδων θα είναι (2α)/3 σύμφωνα με την εκφώνηση
του προβλήματος. Ο αριθμός αυτός παριστάνεται ως [((10*2α)/3)+α].
Εάν αντιστρέψουμε τη θέση των ψηφίων ο νέος αριθμός θα έχει τη
μορφή [10α +(2α)/3], ο οποίος είναι 18 μονάδες μεγαλύτερος του
αρχικού αριθμού. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του
προβλήματος έχουμε:
[10α +((2α)/3)- 18] = [((10*2α)/3) +α] -->
3*10α +2α-3*18 = 10*2α+3α -->
30α+2α-54 = 20α+3α --> 32α-23α = 54 --> 9α =54 -->
α = 54/9 --> α = 6
Άρα το ψηφίο των μονάδων είναι το 6 και το ψηφίο των δεκάδων
είναι το:
(2α)/3 --> (2*6)/3 --> 2*2 = 4.
Ο ζητούμενος αριθμός είναι το 46, του οποίου εάν αντιστρέψουμε
τα ψηφία του προκύπτει ο αριθμός 64 και η διαφορά τους ισούται
με 18 μονάδες: 64 – 46 = 18.
Επαλήθευση:
[10α +((2α)/3)- 18] = [((10*2α)/3) +α] -->
[10*6+((2*6)/3)-18=[((10*2*6)/3)+6] -->
[60 + (2*2) – 18] = [(10*2*2) + 6 ] --> 60 + 4 – 18 = 40 + 6 -->
64 – 18 = 46 ο.ε.δ.
Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 46.

Η Μαγική Εικόνα

 

Που πρέπει να τοποθετήσουμε το Μαύρο Βασιλιά, ώστε τα Λευκά να κάνουν ματ σε 2 κινήσεις; (Ανθ. Σκακ. Παρ./Σ.82/Νο.203)

Λύση

Ο Μαύρος Βασιλιάς πρέπει να τοποθετηθεί στο τετράγωνο "θ1".
1.Ργ1!,Αβ2+/Α:δ2+/Α:Π/Α:δ4/ζ4/~ 2.Ρ:Α±/Ρ:Α±/Β:Π±/Β:Π±/Βθ7#/Βδ1±.

Ο Διψήφιος Αριθμός

 

Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού ισούται με 12. Εάν ελαττωθεί ο διψήφιος αυτός αριθμός κατά 18 μονάδες, προκύπτει ο αρχικός αριθμός με αντεστραμμένα τα ψηφία. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; (Κατ.26/Πρβλ. Νο.20)

Λύση

Έστω ότι είναι α το ψηφίο των μονάδων, το ψηφίο των δεκάδων θα
είναι (12-α),σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος. Ο αριθμός
αυτός παριστάνεται ως [(10*(12-α)+α]. Εάν αντιστρέψουμε τη θέση
των ψηφίων ο νέος αριθμός θα έχει τη μορφή [10α+(12-α)]. Εάν
ελαττώσουμε κατά 18 μονάδες τον αριθμό [(10*(12-α)+α] θα προκύψει
ο αριθμός [10α+(12-α)]. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
[(10*(12-α)+α]-18=[10α+(12-α)]-->120-10α+α-18=10α+12-α-->
-10α+α–10α+α=-120+18+12-->-20α+2α=-90-->-18α=-90-->
α=-90/-18 --> α=5
Επαλήθευση:
[(10*(12-α))+α]-18=[10α+(12-α)]-->
[(10*(12-5))+5]–18=[(10*5)+(12–5)]-->
[(10*7)+5]–18=50+7 -->
70+5–18=57 --> 75–18=57. ο.ε.δ.
Άρα το ψηφίο των δεκάδων είναι το 7 και το ψηφίο των μονάδων το 5
και ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 75, ο δε αντεστραμμένος αριθμός
είναι το 57.