Τρίτη 16 Οκτωβρίου 2018

Τα Μέλη

Υπήρχαν δύο συνεταιρισμοί εκ των οποίων ο ένας είχε τρία μέλη περισσότερα από τον άλλο. Μοίρασαν ίσο αριθμό χρυσών νομισμάτων μεταξύ των μελών τους. Ο αριθμός των χρυσών νομισμάτων, που ήταν για μοίρασμα, σε κάθε περίπτωση ήταν 93 περισσότερο από το σύνολο των μελών των δύο συνεταιρισμών και τα μέλη του μικρότερου συνεταιρισμού έλαβαν 6 χρυσά νομίσματα περισσότερα από τα μέλη του μεγαλύτερου συνεταιρισμού. Πόσα μέλη είχε ο κάθε συνεταιρισμός;
Πηγή:
Από το βιβλίο του Ιταλού γιατρού Girolamo Cardano (1501-1576) με τίτλο «Artis Magnæ», 1545.

Λύση

Ο ένας συνεταιρισμός έχει 6 μέλη και ο άλλος έχει 9 μέλη. Έστω «x» τα μέλη του πρώτου συνεταιρισμού και «x+3» τα μέλη του δεύτερου συνεταιρισμού. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξής εξίσωση:
(2x+3+93)/x=6+(2x+3+93)/(x+3) (1)
(2x+3+93)/x=6+(2x+3+93)/(x+3) ----> (2x+3+93)/x=[6(x+3)+(2x+3+93)]/(x+3) ---->
(2x+3+93)/x=(6x+18+2x+3+93)/(x+3) ---->
(x+3)*(2x+96)=x*(8x+114) ----> 2x^2+96x+6x+288=8x^2+114x ---->
8x^2+114x-2x^2-96x-6x-288=0 ----> 6x^2+12x-288=0 (2)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ----> x=(-12±sqrt[(12^2)-4*6*(-288)]/2*6 ---->
x=(-12±sqrt[144+ 6.912]/12 ----> x=(-12±sqrt[7.056]/12 ---->
x=(-12± 84)/12
x1= (-12+84)/12 ----> x1=72/12 ----> x1=6 Αποδεκτή. (3)
x2=(-12-84)/12 ----> x2=(-96)/12 ----> x2= - 8 Απορρίπτεται.
Επαλήθευση:
6x^2+12x-288=0 ----> 6*6^2+12*6-288=0 ----> 216+72-288=0

2 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Έστω ότι ο μικρότερος συνεταιρισμός έχει Χ μέλη. Τότε από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ότι ισχύουν η ακόλουθη σχέση:
(2Χ+3+93)/Χ=6+(2Χ+3+93)/(Χ+3)=>(*Χ)
2Χ+96=6Χ+Χ(2Χ+96)/(Χ+3)=>
-4Χ+96=(2Χ^2+96Χ)/(Χ+3)=>(*(Χ+3))
(Χ+3)(-4Χ+96)=2Χ^2+96Χ=>
-4Χ^2-12Χ+96Χ+288=2Χ^2+96Χ=>
6Χ^2+12Χ-288=0=>
Χ=[-12+SQRT(144+6912)]/12=>
X=(-12+84)/12=72/12=6
Άρα ο ένας συνεταιρισμός είχε 6 μέλη κι ο άλλος 9.

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Συγχαρητήρια!! Η απάντησή σας είναι σωστή.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes