Ο κ. Ασημάκης
μια μέρα αποφάσισε να πάει παρέα με τους φίλους του σε μια ταβέρνα στη γειτονιά
του για να θυμηθούν τα παλιά. Αφού
παραγγείλανε τα σχετικά, αρχίσανε να συζητάνε και να θυμούνται τα περασμένα
πίνοντας, τρώγοντας και τραγουδώντας παλιά τραγούδια. Έτσι πέρασε η ώρα και ο
κ. Ασημάκης αποφάσισε να φύγει. Αφού πλήρωσε το λογαριασμό διαπίστωσε ότι είχε
στο πορτοφόλι του τόσα λεπτά όσα ήταν τα ευρώ που είχε αρχικά. Επίσης τα ευρώ
που έχει μετά την πληρωμή του λογαριασμού είναι τα μισά από τα λεπτά που είχε
αρχικά. (π.χ. αρχικά είχε 12,10€ και μετά την πληρωμή του λογαριασμού έχει 5,12€). Τα οποία αντιστοιχούν στα μισά από αυτά που είχε στην αρχή πριν πληρώσει τον λογαριασμό. Πόσα
χρήματα είχε αρχικά; (Κατ.34)
Λύση
Ο κ. Ασημάκης αρχικά είχε στο πορτοφόλι του 99,98€ και μετά τη πληρωμή του λογαριασμού είχε στο πορτοφόλι του 49,99€ που αντιστοιχούν στα μισά χρήματα που είχε αρχικά. Ο κ. Ασημάκης αρχικά είχε α € και β λεπτά μετά την πληρωμή του λογαριασμού είχε (β/2)€ και α λεπτά. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:α = 2*(β/2)+1 (1)
β = 2α–100 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
α = 2*(β/2)+1 ---> α= β + 1 (3)
Αντικαθιστούμε τη (2) στη (3) κι’ έχουμε:
α = β+1 ---> α = 2α–100+1 ---> α = 99 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:
β = 2α – 100 ----> β=[(2*99)-100] ---> β=198-100 ---> β=98 (5)
Επαλήθευση:
α = 2 *(β/2)+1 ---> α=2*(98/2)+1 ---> α=98+1 ----> α=99
β = 2α–100 ---> [(2*99)-100] ----> β=198-100 ----> β=98
Αναρτήσεις
4 σχόλια:
Εστω οτι ο κ.Ασημακης ειχε αρχικα (χ+ψ/100) Ευρω στην τσεπη του. Αφου πληρωσε τον λογαριασμο, εστω ω Ευρω, του απεμειναν (ψ/2+χ/100) Ευρω, οπου ψ=2ν, αρτιος μικροτερος του 100, αρα ν<50 με νΕΝ. Οποτε:
(χ+ψ/100)-(ψ/2+χ/100)=(χ+2ν/100)-(2ν/2+χ/100)=ω
Μετα τις πραξεις καταληγουμε στην εξισωση:
99χ-98ν=100ω
Παρατηρουμε οτι αν ω=ν τοτε: χ=2ν=ψ
Αρα ο κ.Ασημακης ειχε: (2ν+2ν/100) Ευρω, πληρωσε ν Ευρω στην ταβερνα και του απεμειναν (ν+2ν/100) Ευρω. Απ' οσο ξερω, λογω εμπειριας, αποκλειεται να πληρωσεις λιγοτερο απο 5 Ευρω σε ταβερνα, αρα: 5=<ν<50, νεΝ.
Οι δυνατες λυσεις ειναι:
ν χ=ψ χ+ψ/100
5 10 10,10
6 12 12,12
7 14 14,14
8 16 16,16
9 18 18,18
10 20 20,20
11 22 22,22
12 24 24,24
13 26 26,26
14 28 28,28
15 30 30,30
16 32 32,32
17 34 34,34
18 36 36,36
19 38 38,38
20 40 40,40
21 42 42,42
22 44 44,44
23 46 46,46
24 48 48,48
25 50 50,50
26 52 52,52
27 54 54,54
28 56 56,56
29 58 58,58
30 60 60,60
31 62 62,62
32 64 64,64
33 66 66,66
34 68 68,68
35 70 70,70
36 72 72,72
37 74 74,74
38 76 76,76
39 78 78,78
40 80 80,80
41 82 82,82
42 84 84,84
43 86 86,86
44 88 88,88
45 90 90,90
46 92 92,92
47 94 94,94
48 96 96,96
49 98 98,98
Voulagx
@Voulagx
Πολύ σωστά το ανέλυσες. Ο κ. Ασημάκης είχε αρχικά 99.98€. Μετά την πληρωμή του λογαριασμού 49,99€ του έμειναν 49.99€, δηλαδή τα μισά χρήματα απο αυτά που είχε στην αρχή.
Καρλο, η λυση που δινεις ισχυει με δεδομενο οτι το χρηματικο ποσον που απεμεινε στον κ.Ασημακη μετα την πληρωμη του λογαριασμου ειναι το μισο του αρχικου, κατι που παρελειψες να αναφερεις στην εκφωνηση του προβληματος.Με αυτο το δεδομενο λοιπον εχουμε:
Αν (α+β/100) το αρχικο ποσο και (β/2+α/100) το ποσο που ειχε ο κ.Ασημακης μετα την πληρωμη του λογαριασμου, τοτε:
α+β/100=2(β/2+α/100) οποτε προκυπτει οτι:
α=99β/98 (1)
οπου α,β ειναι φυικοι και ο β αρτιος μικροτερος του 100.
Το μονο ζευγος φυσικων που ικανοποιει την σχεση (1) ειναι το: (α,β)=(99,98). Αρα ο κ.Ασημακης ειχε αρχικα 99,98 Ευρω στην τσεπη του.
Voulagx
@Voulagx
Έχεις απόλυτο δίκιο. Ξέχασα να γράψω τη φράση "...Τα οποία αντιστοιχούν στα μίσα από αυτά που είχε στην αρχή πριν πληρώσει τον λογαριασμό." Την προσθέτω τώρα. Σου ζητώ συγγνώμη για την ταλαιπωρία.
Δημοσίευση σχολίου