Οι Αγώνες

Σ’ ένα τουρνουά σκακιού με σύστημα νοκάουτ, συμμετέχουν «ν» παίκτες. Πόσοι αγώνες θα διεξαχθούν μέχρι να αναδειχθεί ο μοναδικός νικητής;

Σημείωση:

Το ανωτέρω πρόβλημα το έστειλε ο αγαπητός φίλος μαθηματικός Γιώργο Βούλγαρης.(Κατ.34)

 

 

Λύση

Λύση του μαθηματικού Γιώργου Βούλγαρη.
Επειδή μετά από κάθε αγώνα αποχωρεί ένας παίχτης (ο ηττημένος) στο τέλος των αγώνων έχουν αποχωρήσει οι (ν-1) παίχτες (πλην του νικητή), οπότε έγιναν (ν-1) αγώνες.
Σημείωση:
Σε νοκάουτ αγώνες, ο αριθμός των παικτών ακολουθεί τις δυνάμεις του 2: 2, 4, 8, 16, ... , Ν. Παράδειγμα:
Πίνακας Α
Για 206 συμμετοχές θα γίνουν 8 γύροι και θα παιχθούν 205 παρτίδες (ν-1=206-1=205)
*ΒΥΕ=Ελεύθερος Αγώνος.Έχουμε όταν ο συνολικός αριθμός των συμμετεχόντων για τον επόμενο γύρο είναι μονός, αποχωρεί ένας εξ αυτών για να δημιουργηθεί ζυγός αριθμός παικτών, ώστε ν’ αποτελέσουν ζευγάρια άρτια. Ο παίκτης που δε συμμετέχει στο συγκεκριμένο γύρο παίρνει ένα βαθμό άνευ αγώνος, αλλά δεν δικαιούται άλλο ΒΥΕ στους επόμενους γύρους.
^Δεν έπαιξε στο 2ο γύρο, αλλά θα παίξει στο 3ο γύρο.
^^Δεν έπαιξε στο 5ο και 6ο γύρο, αλλά θα παίξει στον 7ο γύρο.
Πίνακας Β
^Δεν έπαιξαν στο 1ο γύρο, αλλά θα παίξουν στο 2ο γύρο.
Το ανωτέρω πρόβλημα μπορεί να λυθεί και με τον εξής διαφορετικό τρόπο:
Το σύνολο των ζευγαριών των συμμετεχόντων σε κάθε γύρο αποτελείται από έναν αριθμό πολλαπλάσιο του 2 (2,4,8,16,32,64,128,256,...,N) σε φθίνουσα σειρά από το δεύτερο γύρο και μετά. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα έχουμε:
Συνολικές Συμμετοχές:.........................................................206
Επόμενο Πολλαπλάσιο του 2:.................................................256
Η Διαφορά αποτελεί τους ΒΥE Παίκτες του 1ου γύρου:....................50