Το Νούφαρο

Ένα Γαλλικό αίνιγμα αναφέρει το εξής:

Σε μια λίμνη με νούφαρα αρχικά υπήρχε ένα μόνο φύλλο. Κάθε ημέρα, ο αριθμός των νούφαρων διπλασιαζόταν, ώσπου την τριακοστή μέρα η λίμνη σκεπάστηκε εντελώς.

(α) Ποιά μέρα η λίμνη ήταν μισοσκεπασμένη;

(β) Ποιά μέρα ήταν σκεπασμένη κατά το 1/4;

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2020/02/blog-post_74.html

Λύση

(α) Σε 29 ημέρες. Εφόσον κάθε νύκτα διπλασιάζεται θα χρειασθεί 29 ημέρες για να καλύψει την μισή λίμνη, δηλαδή την 29η ημέρα προς την 30η καλύπτει όλη την λίμνη Την 29η μέρα είχε καλύψει τη μισή λίμνη και την 30η μέρα ολόκληρη.
(β) Την 28η μέρα, Δεν αυξάνεται γραμμικά αλλά εκθετικά.
Εμβαδόν Νούφαρου*∙2^30 = Εμβαδόν Λίμνης
Εμβαδό Νούφαρου *2^x = 1/4 Εμβαδόν Λίμνης
Διαιρούμε κατα μέλη τις δυο σχέσεις και έχουμε
2^(30-x) = 4 = 2^2 ----> 30 - x = 2 ---> x = 28

Το Εμβαδόν

 

Το περιβόλι του κυρίου Νίκου έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Για την περίφραξη του χρειάστηκαν 96 πάσσαλοι, που τοποθετήθηκαν ανά 2,5 μέτρα. Αν το μήκος του είναι τετραπλάσιο από το πλάτος του, πόσο είναι το εμβαδόν του;

Πηγή:Ημαθιώτικος Μαθητικός Διαγωνισμός Β’ Φάσης Δημοτικών – «Στέλιος Μιόγλου» Για μαθητές της ΣΤ ́ Τάξης Δημοτικού 11-5-2019

Λύση

Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 9.216μ^2.
Αν χ=μήκος και ψ=πλάτος τότε:
χ=4ψ και
χ+ψ=96*2,5=240
4ψ+ψ=240
5ψ=240
ψ=240/5=48
Το εμβαδόν ισούται με: Ε=χ*ψ=4ψ*ψ=4ψ^2=(2ψ)^2=(2*48)²=96^2=9.216μ^2

Τρία Προβλήματα με την Ίδια Φιλισοφία Λύσης

(Α) Το Πάχος

Αν ένα λεπτό κομμάτι χαρτιού πάχους μισού χιλιοστού (0,5 mm) μπορούσε να διπλωθεί  50 φορές, πόσο πάχος θα είχε;

(Β)Tα Χρόνια

Αν σε μία οικονομία ο πληθωρισμός τρέχει με ρυθμό 7% ανά έτος σε πόσα χρόνια το νόμισμα θα χάσει τη μισή αξία του;

(Γ) Τα Ευρώ

Αν προσληφθούμε πχ με αρχικό μισθό 1 Eυρώ τον μήνα και έχουμε κάνει συμφωνία με τον αφελή εργοδότη να μας διπλασιάζει κάθε μήνα το μισθό, σε δύο χρόνια πόσα Ευρώ θα είναι ο μηνιαίος μισθός μας;

Λύση

Τρία προβλήματα που ανήκουν στην κατηγορία της «εκθετικής αύξησης» - «γεωμετρική πρόοδο»
Από τον τύπο της γεωμετρικής προόδου: Αν=Α1*λ^(ν-1)
Α)Α1=0,5 λ=2 Α50=0,5*2^(50-1)=(1/2)*2^49=2^48=281.474.976.710.656
Β)Αν=Α1/2=Α1*(1-0,07)^(ν-1) => 1/2=0,93^(ν-1) => ln(1/2)=(ν-1)*ln(0.93) => ln1-ln2=(ν-1)*ln(0.93) => 0-ln2=(ν-1)*ln(0.93) => ν-1=-ln2/ln(0.93) => ν=1-ln2/ln(0.93) -> ν=9,55 περίπου.
Γ)Α24=2^(24-1)=2^23=8.388.608€ 
 

Τα Κιλά

 Τρεις φίλοι μοιράστηκαν ένα τσουβάλι με πατάτες. Ο πρώτος πήρε το 30%, ο δεύτερος πήρε 4 κιλά παραπάνω από τον πρώτο και ο τρίτος πήρε 16 κιλά. Πόσα κιλά πατάτες πήρε ο καθένας;
Πηγή:Ημαθιώτικος Μαθητικός Διαγωνισμός Β’ Φάσης Δημοτικών – «Στέλιος Μιόγλου» Για μαθητές της ΣΤ ́ Τάξης Δημοτικού 11-5-2019

Λύση

Αν το τσουβάλι περιέχει χ κιλά πατάτες τότε:
0,3χ+(0,3χ+4)+16=χ
0,6χ+20=χ
χ-0,6χ=20
0,4χ=20
χ=20/0,4=50
Ο πρώτος πήρε: 0,3*50=15 κιλά
Ο δεύτερος πήρε: 15+4=19
Και ο τρίτος 16 κιλά. (Ανώνυμος)

. Οι Εντολές

Ο καθηγητής της πληροφορικής έγραψε στον πίνακα  μια σειρά από εντολές, όπως φαίνονται στην αν

ωτέρω εικόνα.

Αυτή η σειρά των εντολών μας βοηθάει να βρίσκουμε κάθε φορά που την εφαρμόζουμε σ’ έναν ακέραιο θετικό αριθμό;

  

Πηγή:http://pe03.gr/abc/pythagoras/eme-pythagoras-themata-exaskisis-gym-b.html

Πηγή:http://www.pe03.gr/diagonismos-mathimatikon-ikanotiton-pythagoras/

Πηγή: Ε.Μ.Ε. Διαγωνισμός Μαθηματικών Ικανοτήτων «ΠΥΘΑΓΟΡΑ» Β΄ Γυμνασίου

Λύση

Αυτή η σειρά των εντολών μας βοηθάει να βρίσκουμε κάθε φορά που την εφαρμόζουμε σ’ έναν ακέραιο θετικό αριθμό, εάν ο αριθμός αυτός είναι πρώτος, δηλαδή ο αριθμός να διαιρείτε από τον εαυτό του και τη μονάδα..

Οι Πελάτες

 

Πηγή:http://easymath.pe03.gr/courses/112

Λύση

;Estv χ=σύνολο πελατών, ψ=πελάτες με πολύσπορο, ω=πελάτες με χωριάτικο
Τότε:
ψ=4χ/10=2χ/5 => χ=5ψ/2
ω=χ/5=(5ψ/2)/5=ψ/2
Οπότε:
ω+ψ+50=χ
ψ/2+ψ+50=5ψ/2
ψ+2ψ+100=5ψ
5ψ-2ψ-ψ=100
2ψ=100
ψ=50

Η Ενέργεια

Τι ενέργεια θα πρέπει να εφαρμόσουμε στο sqrt(10) για να προκύψει το

Sqrt(90);

(Α) να το εννεαπλασιάσουμε

(Β) να το τριπλασιάσουμε

(Γ) να του προσθέσουμε το sqrt(80)

(Δ) να το υψώσουμε στο τετράγωνο

(Ε) κανένα από τα προηγούμενα 
Πηγή:http://pe03.gr/abc/pythagoras/eme-pythagoras-themata-exaskisis-gym-b.html
Πηγή:http://www.pe03.gr/diagonismos-mathimatikon-ikanotiton-pythagoras/

Πηγή: Ε.Μ.Ε. Διαγωνισμός Μαθηματικών Ικανοτήτων  «ΠΥΘΑΓΟΡΑ» Β΄ Γυμνασίου

Λύση

Σωστή απάντηση είναιτο (B) Παρατηρούμε ότι ο αριθμός κάτω από το ριζικό μετατρέπεται σε 90 από 10, δηλαδή o αριθμός ενναπλασιάστηκε.
sqrt(90)=sqrt(9*10)=sqrt9)*sqrt(10)=3*sqrt(10)