Ένα Μυθικό Πρόβλημα Μοιρασιάς

Αμφορέας με λαιμό,

ύψος 40,6 εκ., περίπου 530-510 π.Χ.

Βρετανικό Μουσείο, 1837,0609.42 / Β226

Παριστάνει τους:

Κένταυρος Φόλος – Ηρακλής και Ερμής

Σε ένα από τα πολλά ταξίδια του ο Ηρακλής,  ο μυθικός ήρωας, στο βουνό των
Κενταύρωντο Πήλιο, βρέθηκε αντιμέτωπος με μια παρέα 5 Κενταύρων,  τον 
Χείρωνα, τον Φόλο, τον Νέσσο, τον Άγχιο, και τον Άγριο, οι όποιοι ήταν
έτοιμοι να πιαστούν στα χέρια ή στα...πόδια αν προτιμάτε, γιατί δεν μπορούσαν
να μοιραστούν μια ποσότητα κρασιού. Ο ήρωας προσφέρθηκε  να τους βοηθήσει.
Αυτοί λοιπόν του έδειξαν 45 φλασκιά με κρασί και του διευκρίνησαν τα εξής:

Εννέα φλασκιά ήταν γεμάτα με κρασί. (4/4=100μονάδες)

Εννέα  περιείχαν κατά τα τρία τέταρτα κρασί. (3/4=75μονάδες)

Εννέα  περιείχαν κατά το ένα δεύτερο κρασί. (2/4=50μονάδες)

Εννέα  περιείχαν κατά το ένα τέταρτο κρασί. (1/4=25μονάδες)

Και εννέα  φλασκιά ήταν άδεια. (0/4=0μονάδες)

Οι Κένταυροι έπρεπε  να μοιραστούν τόσο το κρασί όσο και τα φλασκιά.
Δηλαδή έπρεπε ο κάθε Κένταυρος να πάρει:

- Την ίδια ποσότητα κρασιού.

- Τον ίδιο αριθμό φλασκιών και ειδικότερα να πάρει από κάθε είδος φλασκιού
(ως προς   την ποσότητα) τουλάχιστον ένα.

-Επίσης κανένα ζεύγος Κενταύρων να μην πάρει τον ίδιο αριθμό από κάθε είδος
φλασκιού (δεν θα μπορούσαν για παράδειγμα δυο Κένταυροι να πάρουν από 2
φλασκιά γεμάτο κρασί).

Ο Μυθικός ήρωας αφού σκέφτηκε  λίγο κατόρθωσε να κάνει την μοιρασιά.
Εσείς μπορείτε;

Διαβάστε περισσότερα »

Οι Άντρες

Ένας βασιλιάς διέταξε έναν αυλικό του να μαζέψει άντρες για το στρατό από 30 χωριά,
ως εξής:

-«Από κάθε χωριό που θα φεύγεις θα παίρνεις τόσους άντρες , όσοι ήταν αυτοί που πήγαν. ∆ηλαδή, στο πρώτο χωριό που θα φτάσεις μόνο σου, φεύγοντας θα πάρεις μαζί σου άλλον ένα. Στο δεύτερο χωριό θα φτάσετε δύο άτομα, άρα φεύγοντας από το χωριό θα πάρεις  μαζί σου άλλους δύο, σύνολο 4 κ. ο. κ. ε.»

Πόσους άντρες συνολικά θα συγκεντρώσει  ο αυλικός από τα 30 χωριά που θα επισκεφθεί;

Σημείωση:

Από το έργο «Propositiones ad Acuendos Juvenes» - “Προβλήματα για να τροχίζουν το μυαλό των νέων”, του Albinus Flaccus Alcuin (735-804), πρόβλημα Νο.13.

Λύση

Ο αυλικός από τα 30 χωριά θα συγκεντρώσει 1.073.741.823 άντρες. Βάσει του τύπου του αθροίσματος της γεωμετρικής προόδου Σn=[α*(ω^n-1)]/(ω-1) βρίσκουμε το σύνολο των 30 όρων της γεωμετρικής προόδου:
Σn=[α*(ω^n-1)]/(ω-1)=[1*(2^(30)-1]/2-1=[1*(2^(30)-1)]/1=[(1*1.073.741.824) -1]=
1.073.741.824-1=1.073.741.823
Στο 1ο χωρίο πήγε μόνος του και έφυγαν 2 άτομα =2^1.
Στο 2ο χωριό πήγαν 2 άτομα και έφυγαν 4 άτομα = 2^2.
Στο 3ο χωριό πήγαν 4 άτομα και έφυγαν 8 άτομα = 2^3.
......................
......................
......................
Στο 30ο χωριό πήγαν 536.870.912 = 2^29 άτομα και έφυγαν 1.073.741.824 άτομα = 2^30.
Από το 30ο χωριό θα φύγουν 1.073.741.824 άτομα. Ο αυλικός θα πάει στον βασιλιά του
(2^n-1)=[(2^30)-1] = (1.073.741.824 -1) = 1.073.741.823 άντρες.

Ο Αριθμός

Ένας αριθμός διαιρούμενος με το 3 αφήνει υπόλοιπο 2, διαιρούμενος με το 5 αφήνει υπόλοιπο 3, και διαιρούμενος με το 7 αφήνει υπόλοιπο 2. Ποιος είναι ο αριθμός;

Σημείωση:

Από το τρίτομο βιβλίο με τίτλο «Κλασσική Αριθμητική του Sun – Tsu ή Suan – Tse.

Λύση

Είναι ο αριθμός 23. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 3, 5, και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π.( 3,5,7)=3*5*7=105
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξής εξiσώσεις:
x=3y+2 (1)
x=5z+3 (2)
x=7u+2 (3)
όπου y, z, και u, φυσικοί ακέραιοι αριθμοί.
Ο κανόνας που εφάρμοζαν οι Κινέζοι σ’ αυτή τη περίπτωση, τον οποίο ονόμαζαν Ta-yen,δε διαφέρει κατ’ ουσία από εκείνον ο οποίος εδόθη κατόπιν από τον Gauss (§§ Disq. Aritm. 32-36). Κατ’ εφαρμογή αυτού του κανόνος, προσδιορίζονται (δοκιμαστικώς;) τρεις αριθμοί, «k», «l», και «m», τέτοιοι ώστε να έχουμε:
5*7*k ≡1(mod.3) (4)
7*3*l ≡1(mod.5) (5)
3*5*m ≡1(mod.7) (6)
Αποδεκτές τιμές για τις μεταβλητές «k», «l», και «m» είναι:
«k=2», «l=1», και «m=1»
Αντικαθιστούμε τις τιμές των μεταβλητών στις (4), (5), και (6) κι’ έχουμε:
5*7*2=70 (7)
7*3*1=21 (8)
3*5*1=15 (9)
Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα των ανωτέρω γινομένων με τα υπόλοιπα των διαιρέσεων 2, 3, και 2 κι’ έχουμε:
5*7*2=70*2=140 (10)
7*3*1=21*3=63 (11)
3*5*1=15*2=30 (12)
Προσθέτουμε τα αποτελέσματα των ανωτέρω γινομένων κι’ έχουμε:
140+63+30=233
Από το ανωτέρω άθροισμα αφαιρούμε το Ε.Κ.Π. των διαιρετών 3, 5, και 7, όσες φορές είναι δυνατόν φθάνοντας στο ζητούμενο αριθμό 23, ή πιο σωστά, στο ελάχιστο από αυτά, κι’ έχουμε: 233-105=128-105=23

Ο Αριθμός της Πινακίδας

Ο Παύλος γράφει έναν διψήφιο αριθμό, όπου το ψηφίο των μονάδων είναι το ίδιο με το ψηφίο των δεκάδων και τον πολλαπλασιάζει επί 3.

Το γινόμενο το πολλαπλασιάζει επί 11.

Το νέο γινόμενο το πολλαπλασιάζει επί 3.

Το τελικό γινόμενο αποτελείται από 4 ψηφία, τα οποία αποτελούν τον αριθμό της πινακίδας του αυτοκινήτου του, ο οποίος λήγει σε 3, δηλαδή: ΑΚ  - - - 3.

Ποιος είναι ο αριθμός του αυτοκινήτου του;

Λύση

O ζητούμενος αριθμός της πινακίδας του αυτοκινήτου του Παύλου είναι: ΑΚ 7623
Έστω (αα) ο ζητούμενος διψήφιος αριθμός, ο οποίος παριστάνεται (10α+α). Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
(10*α)+α ---> (11*α)*(3*11*3) ---> (11*α)*99 ---> 1.089*α (1)
Διερεύνηση:
Δίδοντας στο "α" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ,ότι ο μοναδικός αριθμός, ο οποίος εάν πολλαπλασιασθεί με το 1.089 θα μας δώσει γινόμενο ένα τετραψήφιο αριθμό που να λήγει σε 3, είναι ο αριθμός 7.
Πράγματι, εάν αντικαταστήσουμε το "α", στην ανωτέρω εξίσωση, με το 7 θα έχουμε:
1.089*α ---> 1.089*7=7.623
Επαλήθευση:
10α+α ---> (10*7)+7 ---> 70+7=77 ---> 77*(3*11*3)=77*99=7623 ο.ε.δ.

Το Αγρόκτημα

Σ’ ένα αγρόκτημα ένας  αγρότης εκτρέφει άλογα, πρόβατα και κότες. Κάθε
είδος ζώου είναι ένας διαφορετικός πρώτος αριθμός. Ο αγρότης σκέφτηκε
ως εξής:

-«Εάν πολλαπλασιάσω το πλήθος των προβάτων μου με το άθροισμα των αριθμών
των προβάτων και των αλόγων μου, τότε θα βρω έναν αριθμό μεγαλύτερο κατά
120 από τις κότες μου.»
Πόσα ήταν τα ζώα που είχε ο αγρότης και πόσα είχε aπό  το καθ' ένα; (Κατ.34/Νο.686)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/blog-post_17.html

Πηγή: Από το βιβλίο "Ο Οιδίποδας και η Σφίγγα", του Α. Πούλου

Λύση

Συνολικά είχε 36 ζώα, 2 άλογα, 11 πρόβατα, και 23 κότες. Έστω «Α» τα άλογα «Π» τα πρόβατα και «Κ» οι κότες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Π*(Π+Α)=Κ+120 (1)
Εάν «Α», «Π», και «Κ» πρώτοι αριθμοί εκτός του 2, τότε Π*(Π+Α)= άρτιος αριθμός και Κ+120 περιττός αριθμός, άτοπον, άρα:
α) Κ+120 άρτιος, άρα Κ=2 ---> Π*(Π+Α)=122=2*61 (1*122 δεν γίνεται δεκτό αφού το 1 δεν θεωρείται πρώτος αριθμός), άρα Π=2 και Α=59 άρα Α=59, Π=2, Κ=2
β) Κ+120= περιττός αριθμός ---> Π*(Π+Α)= περιττός αριθμός ---> Π= περιττός και Α=2 και η εξίσωση γίνεται: Π*(Π+2)=Κ+120 ---> Π^2+2Π-120=Κ ή (Π+12)*(Π-10)=Κ(=πρώτος αριθμός) ---> (Π-10) = 1 ---> Π =11 και Κ=11+12=23 Άρα Α=2, Π=11, Κ=23
Επαλήθευση:
Π*(Π+Α)=Κ+120 ---> 11*(11+2)=23+120 ---> 11*13=143

Οι Δύο Έμποροι *

Δύο έμποροι μεταβαίνουν μαζί στην αγορά, εκεί συναντούν έναν σαράφη που πουλούσε ένα σμαράγδι προς 10.000 χρυσά νομίσματα. Ο καθένας από τους δύο εμπόρους μέτρησε τα χρήματα που είχε. Και οι δύο διαπίστωσαν ότι τα χρήματα που είχαν δεν επαρκούσαν για την αγορά του σμαραγδιού.

Ο πρώτος λέει στο δεύτερο:

-«Δάνεισε μου το 1/5 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»

Ο δεύτερος τότε του λέει:

-«Όχι, δάνεισε μου  εσύ το 1/7 των χρημάτων σου,  οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»

Ζητείται το ποσό των χρημάτων που είχε έκαστος έμπορος στο πορτοφόλι του. (Κατ.34)

* Πρόβλημα του Νικόλαου Αρταβάσδου του Σμυρναίου, γνωστός ως Ραβδάς, από το έργο  του «Δεύτερη των  Επιστολών», που γράφτηκε το 1341.

Λύση

Ο πρώτος έμπορος είχε 8.235,29 χρυσά νομίσματα και ο δεύτερος είχε 8.823,53 χρυσά νομίσματα. Έστω «x» τα χρυσά νομίσματα του πρώτου εμπόρου και «y» τα χρυσά νομίσματα του δευτέρου εμπόρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
x+(y/5)=10,000 (1)
y+(x/7)=10.000 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
x+(y/5)=10,000 ---> 5x+y=5*10.000 ----> 5x+y=50.000 (3)
Από την (2) συνάγουμε ότι:
y+(x/7)=10.000 ---> 7y+x=7*10.000 ---> 7y+x=70.000 (4)
Από τη (4) συνάγουμε ότι:
7y+x=70.000 ----> x=70.000-7y (5)
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε:
5x+y=50.000 ---> 5*(70.000-7y)+y=50.000 ----> 350.000-35y+y=50.000 ---->
34y=350.000-50.000 ---> 34y=300.000 ----> y=300.000/34 ----> y=8.823,53 (6)
Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε:
x=70.000-7y ---> x=70.000-7*8.823,53 ---> x=70.000- 61764,71 ---> x=8.235,29 (7)
Επαλήθευση:
x+(y/5)=10,000 ----> 8.235,29+(8.823,53/5)=10.000 ----> 8.235,29+1.764,71=10.000
y+(x/7)=10.000 ---> 8.823,53+(8.235,29/7)=10.000 ---> 8.823,53+1.176,47=10.000

Η Πιθανότητα

Ένας βάτραχος τρώει τρεις μύγες την ημέρα (ας το ονομάσουμε "γεύμα"). Μέχρι να συμπληρώσει το γεύμα του, η πιθανότητα να πιάσει όποια μύγα περάσει από μπροστά του είναι 50%. Μια μύγα είναι έτοιμη να κάνει το μεγάλο τόλμημα, να περάσει από μπροστά του. Ποια είναι η πιθανότητα να την γλυτώσει η μύγα, δεδομένου ότι πέντε μύγες έχουν κάνει ήδη την προσπάθεια; (Κατ.33)

Λύση

Κινδυνεύει στην περίπτωση που στις πέντε μύγες που έχουν περάσει, ο βάτραχος έχει πιάσει 0 ή 1 ή 2 μύγες. Η πιθανότητα αθροιστικά για τα τρία ενδεχόμενα, από τύπο διωνυμικής κατανομής είναι:
P=P0+P1+P2=0.03125+0.15625+0.3125=0.5
Η πιθανότητα να πιαστεί είναι 0.5∗0.5=0.25
Η πιθανότητα να γλυτώσει είναι 1−0.25=0.75
Και ένας “μπακαλίστικος” τρόπος!
Στις πέντε μύγες που έχουν προσπαθήσει, πιθανοτική μαθηματική ελπίδα - έχουν πιαστεί:
5∗0.5=2,5 μύγες.
Άρα το ρίσκο της έκτης μύγας είναι (3−2.5)∗0.5=0.25.
Επομένως γλυτώνει με πιθανότητα:
1−0.25=0.75.